Fuerzas sobre una caja en una cinta transportadora

[Like Tony Stark]

Una serie de paquetes de 800 gramos son depositados sobre una cinta transportadora donde el coeficiente de rozamiento estático entre los cuerpos y la cinta es 0,4. Determinar:

a) La fuerza que ejerce la banda sobre cada paquete un instante antes y un instante después de pasar por el punto A.
b) El valor de la coordenada angular del punto B, donde los paquetes empiezan a deslizar sobre la cinta.
c) La coordenada angular cuando los paquetes se separan de la cinta.

Hola!
Respecto al inciso a), pienso que antes de pasar por el punto A solo tiene peso y normal ya que se mueve a velocidad constante; luego del punto A siente las mismas fuerzas. Está bien?

Para el b), empieza a sufrir fricción que "lucha" contra el peso en x. Como en un plano inclinado. Estoy en lo correcto?

C), si se separan es porque ya no siente fricción y solo tiene peso. Es correcto?

[Al2000]

a) Yo creo que un instante antes de llegar al punto A, la banda únicamente ejerce la fuerza normal; inmediatamente después empieza a actuar la fuerza de fricción estática.

b) El paquete empezará a deslizar cuando la componente tangencial de la fuerza sobre el paquete supere a la fuerza de fricción máxima.

c) Cuando el paquete se despegue, la reacción normal de la banda será cero.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Concuerdo con Al2000, antes del punto A , como no te especifican nada, se supone que la velocidad relativa de los paquetes respecto de la banda es nula, al no haber otras fuerzas laterales , la fricción es nula, y luego de A los paquetes poseen aceleración centrípeta, a la vez mantienen la velocidad relativa,nula respecto de la cinta, hasta que el la componente del peso en dirección tangencial, supera la fricción estática, allí comienza a deslizar, luego cuando la velocidad tangencial del paquete es lo suficientemente alta, la normal se hace nula y el paquete despega.

[Like Tony Stark]

Pérmitanme ver si comprendí bien...
Cuando pasan el punto A, la aceleración en la dirección tangente es 0 y por lo tanto la fricción iguala al peso en x; y en la dirección normal el peso en Y supera a la fuerza normal, con una aceleración de $\omega . r$?
Luego en el punto B la aceleración tangente ya no es 0 y en la dirección normal todo se mantiene igual
Por último cuando los paquetes se despegan, la aceleración tangente no es 0 pero sí lo es en la dirección normal?

Teniendo en cuenta esto último, para buscar la coordenada angular tenemos
$N-Py=m.\omega$.r
$N=mgcos(\alpha)$

Pero desconozco el ángulo y la normal, así que cómo podría calcularlo?
y de qué me sirve la velocidad angular que me es dada?
gracias

[JCB]

Hola a tod@s.

Simplemente formulando lo que ya decís,

- hasta el punto A, $N=mg$. No hay fuerzas en la dirección X.

- a partir del punto A, en dirección radial: $N=mg\cos\theta-m\omega^2R$ (1).

- a partir del punto A, y suponiendo que la combinación entre la velocidad angular $\omega$ y el radio $R$ del rodillo (por cierto, no indicado en el enunciado) de la cinta transportadora no provoque que el paquete salga volando (debido a la fuerza centrífuga), el punto de deslizamiento se dará cuando la componente tangencial del peso iguale (o supere) a la fuerza de rozamiento:

$F_r-mg\sin \theta=0$,

$\mu N-mg\sin \theta=0$. Substituyendo (1):

$\mu (mg\cos \theta-m\omega^2R)-mg\sin \theta=0$,

$\mu g\cos \theta-g\sin \theta-\mu \omega^2R=0$. Se trataría de resolver esta ecuación, que podría transformarse en irracional, haciendo el cambio de variable $x=\sin\theta$, $\cos\theta=\sqrt{1-x^2}$.

Faltaría encontrar el ángulo de desprendimiento. A ver si alguien se anima.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Faltaría encontrar el ángulo de desprendimiento. A ver si alguien se anima.

Simple , despega cuando $N=0$ ....es decir cuando lo reemplazas en tu formula (1) y te queda

$0=mg\cos\theta-m\omega^2R$

luego $\theta=\arccos\left(\dfrac{\omega^2R}{g}\right)$

Aver que opina nuestro avenger!!!

[Al2000]

Yo también quisiera saber lo que opina el avenger, pues a mi me da la impresión de que el problema no tiene solución analítica. Tomen en cuenta que una vez que el paquete empiece a deslizar ya su velocidad angular no será igual a la de la cinta.

Hace varios años me embarqué en una discusión similar. Si tienen suficiente hígado quizás puedan leer el hilo ¿en qué punto abandona la esfera un cuerpo que desliza CON ROZAMIENTO desde el punto mas alto?. Esta vez yo paso...

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Ahaha!!! tienes mucha razón no había caído en eso...

[Richard R Richard]

para darle una idea a Like Tony Stark , el sistema se resolvería con una ecuación diferencial de segundo orden, muy similar a la del péndulo, pero con diferencias en los signos, por ello no sería periódica como en el péndulo .

$\ddot \theta\cong \dfrac gR \sin\theta$

cuando la del péndulo es

$\ddot \theta\cong -\dfrac gL \sin\theta$

estas ecuaciones no tienen solucion analitica exacta, y hay que resolverlas por métodos numéricos.

[Like Tony Stark]

El problema no da ningún dato sobre el radio, sin embargo traté de obtenerlo de la expresión de las fuerzas en la dirección tangente para cuando la caja está sobre A.
Ahí tenemos
$t) P_x-Fr=0$
Considerando que en la dirección normal tenemos
$n) -N+P_y=m.\omega ^2 r$

Pero para cuando está sobre A debería considerar que no hay peso en x? Ya que todavía la caja no está inclinada

Al margen de eso, como dijo Al, tomé a la velocidad angular como desconocida para el momento en que las cajas se desprenden. Por lo que la ecuación de Richard seguiría siendo válida solo que la velocidad angular sería desconocida.