Expresiones para magnitudes asociadas a un cuerpo atado a un disco rotante

[Like Tony Stark]

Hola!
Estuve resolviendo el siguiente problema así que quería preguntarles si me podrían decir si lo que hice está bien:

La figura muestra un cuerpo de masa conocida en el interior de una guía diametral practicada en una plataforma contenida en una superficie horizontal. Si el cuerpo está sujeto por una cuerda inextensible a la distancia indicada mientras que la plataforma gira con velocidad angular constante, obtener: a. Expresiones de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
b. Si la cuerda se rompe, una expresión para la aceleración del cuerpo respecto de la plataforma en el instante siguiente y una expresión de la velocidad del cuerpo respecto de la plataforma en función de la distancia al centro de la misma.


Consideré como eje X el que se alinea con la soga, como Y a la dirección que "atraviesa" las paredes de la ranura y como Z a la dirección de la velocidad angular.
Luego, planteé las ecuaciones de Newton desde este sistema: ejes fijos al disco que gira.
Entonces para el inciso a)
$X) m.\omega^2.r-T=m.a_{relx}$

Donde m es la masa, omega la velocidad angular, r el radio, y la aceleración es la componente en x relativa al sistema fijo al disco.

$Y) N_1-2.m.v_{rel}=m.a_{rely}$

Donde N1 es la fuerza notmal de las paredes y vrel la velocidad relativa al sistema fija.

$Z) N_2 -mg=m.a_{relz}$

Domde N2 es la normal de la plataforma.




Para el inciso B, T=0 y por lo tanto
$X) \omega^2.r=a_{relx}$

Luego, si el origen del sistema está en el centro de la plataforma, la posición del cuerpo vendrá dada por
I) $x=R/2 +1/2 a_{relx} .t^2$

La velocidad vendrá dada por
II) $v=a_{relx}.t$

Así que despejando arel de I) y reemplazándola en II) obtenemos
$v=2x/t -R/t$

[JCB]

Hola a tod@s.

Cuando la cuerda se rompe, el cuerpo se desplaza por la ranura, aumentando el radio $r$ al centro de rotación. Luego la aceleración centrífuga (radial) no es constante, pues depende de ese radio, $a_r=\omega^2r$ (1).

Por otra parte la aceleración radial, también es $a_r=\dfrac{dv_r}{dt}=\dfrac{dv_r}{dr}\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{dv_r}{dr}v_r$ (2).

Igualando (1) con (2):

$\omega^2r=\dfrac{dv_r}{dr}v_r$,

$\omega^2rdr=v_rdv_r$. Integrando entre $r_0$ y $r$, y entre 0 y $v_r$,

$v_r=\omega\sqrt{r^2-r_0^2}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

$Y) N_1-2.m.v_{rel}=m.a_{rely}$

Donde N1 es la fuerza normal de las paredes y vrel la velocidad relativa al sistema fija.

Eso no tiene buena pinta, ni siquiera es correcto dimensionalmente.

[JCB]

Hola a tod@s.

En cuanto al mensaje # 3 de Richard, diría que en sentido tangencial (perpendicular al radial), se debe aplicar $\sum{F_t}=ma_t$,

$F_t=m2\omega v_r=m2\omega\omega\sqrt{r^2-r_0^2}=2m\omega^2\sqrt{r^2-r_0^2}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Like Tony Stark]

Eso no tiene buena pinta, ni siquiera es correcto dimensionalmente.

Me había olvidado escribir el omega. Luego de eso, está bien?

[Like Tony Stark]

$F_t=m2\omega v_r=m2\omega\omega\sqrt{r^2-r_0^2}=2m\omega^2\sqrt{r^2-r_0^2}$.

.

En la dirección tangente no debería estar también la fuerza normal dado que la fuerza de Coriolis la "empuja" contra la pared

[Richard R Richard]

Me había olvidado escribir el omega. Luego de eso, está bien?

El tema es que te complicas eligiendo las $x$ e $y$ cuando es mas facil resolverlo en $r$ y $\theta$, (polares) , ya que la aceleración angular es nula y la radial no.

[Al2000]

Anoche estuve jugando con este problema tratando de refrescar mis conocimientos de las expresiones cinemáticas en coordenadas polares. con las cuales confieso no haber tenido mucho contacto. No sé si lo que voy a escribir a continuación dará respuesta al ejercicio, pues son expresiones para un marco inercial y no para la plataforma, como pide el enunciado. De todas formas lo escribo pues pudiera ser interesante.

Usando la notación de punto para las derivadas, las expresiones de posición, velocidad y aceleración en coordenadas polares son:

$$\boldsymbol r = r\, \boldsymbol u_r$$

$$\boldsymbol v = \dot r\, \boldsymbol u_r + r \dot \theta \, \boldsymbol u_\theta$$

$$\boldsymbol a = \left(\ddot r - r \dot \theta ^2 \right)\, \boldsymbol u_r + \left(2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta \right)\, \boldsymbol u_\theta$$

Para responder el inciso (a) hay que evitar confundirse con la ranura a todo lo largo del diámetro y reconocer que el cuerpo sujeto por el hilo describe un movimiento circular con velocidad angular constante $\dot \theta = \omega$ y de radio $r = R/2$. La tensión $T$ en el hilo provee la necesaria fuerza centrípeta $T = \frac 1 2 m R \omega^2$ y esta es la única fuerza aplicada al cuerpo.

Al romperse el hilo el cuerpo avanzará por inercia alejándose del centro del disco. No hay aplicada ninguna fuerza en dirección radial y una fuerza transversal aplicada por el disco aparecerá forzando al cuerpo a desplazarse en el interior de la ranura. La aplicación de las leyes de Newton nos lleva a las dos ecuaciones

$$\frac {d^2r}{dt^2} - \omega ^2 r = 0$$

$$N = 2 m \omega \frac {dr}{dt}$$

La solución general de la ecuación (4) es

$$r = A \ee ^{\omega t} + B \ee^{- \omega t}$$

y la velocidad radial será

$$\frac {dr}{dt} = \omega \left(A \ee^{\omega t} - B \ee^{-\omega t}\right)$$

Imponiendo las condiciones iniciales $\dst r_{(0)} = \frac R 2$ y $\dst {v_r}_{(0)} = 0$, se obtiene que $\dst A = B = \frac R 4$ y por tanto

$$\boxed {r = \frac R 4 \left(\ee ^{\omega t} + \ee^{- \omega t}\right)}$$

$$\boxed {\frac {dr}{dt} = \frac {\omega R} 4 \left(\ee^{\omega t} - \ee^{-\omega t}\right)}$$

$$\boxed {N = \frac {m R \omega^2} 2 \left(\ee^{\omega t} - \ee^{-\omega t}\right)}$$

Como forma de chequeo, se puede verificar la conservación de la energía para el cuerpo que desliza. El instante $t_R$ en el cual el cuerpo alcanza la posición $r=R$ se calcula como:

$$\frac R 4 \left(\ee ^{\omega t_R} + \ee^{- \omega t_R}\right) = R$$

Resolviendo para $t_R$ se obtiene

$$t_R = \frac {\ln (2 + \sqrt 3)} \omega$$

La velocidad del cuerpo en ese momento valdrá

$$\boldsymbol v_{(t_R)} = {v_r}_{(t_R)}\, \boldsymbol u_r + \omega R \, \boldsymbol u_\theta = \omega R \left[\frac {\sqrt 3} 2 \, \boldsymbol u_r + \boldsymbol u_\theta\right]$$

$$v_{(t_R)} = \frac {\sqrt 7} 2 \, \omega R$$

y por tanto, el incremento en su energía cinética será:

$$\Delta E_c = \frac 1 2 m \left(v_{(t_R)}^2 - v_{(0)}^2\right) = \frac 1 2 m \left(\frac 7 4 \omega^2 R^2 - \omega^2 \frac {R^2} 4\right)$$

$$\boxed {\boxed {\Delta E_c = \frac 3 4 m \omega^2 R^2}}$$

Por otra parte, el trabajo de la única fuerza actuante se puede calcular como la integral del torque:

$$W = \int \tau \, d \theta = \int_0^{t_R}\!\! (r N)\, (\omega \,d t)$$

Sustituyendo las expresiones previamente conseguidas, finalmente se obtiene al evaluar la integral y simplificar, que

$$\boxed {\boxed {W = \frac 3 4 m \omega^2 R^2}}$$

como era de esperar.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Genial, Al2000. Voy a intentar relacionar la velocidad relativa que obtuve en mi mensaje # 2 con la tuya, a ver si coinciden.

[JCB]

Hola a tod@s.

En mi mensaje # 2, obtuve la velocidad relativa, $v_r=\omega\sqrt{r^2-r_0^2}=\dfrac{dr}{dt}$,

$dt=\dfrac{dr}{\omega\sqrt{r^2-r_0^2}}$. Integrando entre 0 y $t$, y entre $r_0$ y $r$,

$\dst\int_{0}^{t}dt=\dst\int_{r_0}^{r}\dfrac{dr}{\omega\sqrt{r^2-r_0^2}}=\dfrac{1}{\omega}ln\left[r+\sqrt{r^2-r_0^2}\right]_{r_0}^r$,

$t=\dfrac{1}{\omega}ln\dfrac{r+\sqrt{r^2-r_0^2}}{r_0}$. Despejando r,

$r=\dfrac{1}{2}r_0\left(e^{\omega t}+e^{-\omega t}\right)$, y como $r_0=\dfrac{R}{2}$,

$r=\dfrac{R}{4}\left(e^{\omega t}+e^{-\omega t}\right)$. Expresión coincidente con la (8) tuya, Al2000. Con lo cual, la velocidad relativa, también coincide.

Saludos cordiales,
JCB.