Ejercicio de Movimiento Circular en Coordenadas Polares(Radial Transversal)

[jorge845]

Buenos días, me podrían ayudar con el siguiente ejercicio por favor.
Una particula P se mueve por la circunferencia mostrada de acuerdo con la función theta=(3t^2+2t) rad, donde t es el tiempo y está en segundos.Calcule pata t=2 s a) La velocidad y la aceleración en coordenadas radial transversal para un sistema de referencia en que el eje radial coincida con la recta AP.
Me ha salido 1.92 (m/s) la componente velocidad radial.pero quisiera saber si este resultado es correcto.

De antemano mucha gracias.

[Jaime Rudas]

Buenos días, me podrían ayudar con el siguiente ejercicio por favor.
Una particula P se mueve por la circunferencia mostrada de acuerdo con la función theta=(3t^2+2t) rad, donde t es el tiempo y está en segundos.Calcule pata t=2 s a) La velocidad y la aceleración en coordenadas radial transversal para un sistema de referencia en que el eje radial coincida con la recta AP.
Me ha salido 1.92 (m/s) la componente velocidad radial.pero quisiera saber si este resultado es correcto.

Jorge, dinos cómo lo resolviste y veremos si el procedimiento es correcto.

[jorge845]

Primero encontré el módulo del vector posición mediante una ley de cosenos relacionando la el módulo del vector posición respecto al centro de la circunferencia y el módulo de la suma vectorial de Ri+Rj, donde R es el Radio, Luego encontré r punto derivando dicha relación,en ese momento me quedó una relación de r punto en función de theta punto,entonces derive theta luego reemplazé dicho resultado en r punto y me quedó 1.92 así fue como lo hice.

[jorge845]

Jorge, dinos cómo lo resolviste y veremos si el procedimiento es correcto.

Ya escribí el procedimiento solicitado.

[Richard R Richard]

El radio AP lo calculas como
$R=\sqrt{\left[r(1+\cos\theta\right]^2+\left[r(1+\sin\theta\right]^2}$

Luego sabes que $\theta=3t^2+2t$

reemplazas y tienes

$R=r\sqrt{\left[(1+\cos(3t^2+2t)\right]^2+\left[(1+\sin(3t^2+2t)\right]^2}$

luego derivas, aplicando la regla de la cadena

lo que buscas es $v_R=\dfrac{\partial R}{\partial t}{(t=2s)}=?$

$$\underline{r(\left(-2\left[1+\cos(3t^2+2t)\right]\sin(3t^2+2t)(6t+2)\right)+\left(2\left[1+\sin(3t^2+2t)\right]\cos(3t^2+2t)(6t+2)\right))}\big\vert_{(t=2s)}=$$

$$2\sqrt{\left[(1+\cos(3t^2+2t)\right]^2+\left[(1+\sin(3t^2+2t)\right]^2}$$

[Jaime Rudas]

Ya escribí el procedimiento solicitado.

Lo siento: no entiendo lo que escribiste.

[Jaime Rudas]

El radio AP lo calculas como
$R=\sqrt{\left[r(1+\cos\theta\right]^2+\left[r(1+\sin\theta\right]^2}$

[...]

$$\underline{r(\left(-2\left[1+\cos(3t^2+2t)\right]\sin(3t^2+2t)(6t+2)\right)+\left(2\left[1+\sin(3t^2+2t)\right]\cos(3t^2+2t)(6t+2)\right))}\big\vert_{(t=2s)}=$$

$$2\sqrt{\left[(1+\cos(3t^2+2t)\right]^2+\left[(1+\sin(3t^2+2t)\right]^2}$$

Yo lo resolví algo diferente:

$R=\sqrt{(r(1+\cos\theta))^2+(r(1+\sin\theta))^2}=r \sqrt{(1+\cos\theta)^2+(1+\sin\theta)^2}$

$R=r \sqrt{1+2\cos\theta +(\cos\theta)^2+1+2\sin\theta+(\sin\theta)^2}=r \sqrt{3+2(\cos\theta +\sin\theta)}$

$\dot R=\dfrac{r\dot\theta (\cos\theta - \sin\theta)}{\sqrt{3+2(\cos\theta +\sin\theta)}}$

donde

$r=2$

$t=2$

$\theta=3t^2+2t=16$

$\dot\theta=6t+2=14$

Si los reemplazamos en $\dot R$ me resulta lo mismo que a Richard, pero no es 1,92

[jorge845]

Gracias, lo volví hacer y me da lo mismo que a ustedes,lo complicaba inecesariamente con la ley de cosenos, era más fácil con el módulo una suma vectorial.
Una última pregunta para obtener las componentes radial transversal de la aceleración necesitaria theta punto,esta velocidad angular no es la misma que la que se obtiene derivando de la posición angular que me dan en el problema, sino que tendría que obtener una nueva velocidad angular respecto al punto A ¿Esto es correcto?

[Richard R Richard]

Una última pregunta para obtener las componentes radial transversal de la aceleración necesitaria theta punto,esta velocidad angular no es la misma que la que se obtiene derivando de la posición angular que me dan en el problema,

O bien es radial o bien es transversal, pero las dos cosas a la vez no puede ser

theta punto ya lo tienes....

$\dot{\theta}=\dfrac{\partial \theta}{\partial t}{(t=2s)}=6t+2\big\vert_{(t=2s)}=14$

sino que tendría que obtener una nueva velocidad angular respecto al punto A ¿Esto es correcto?

Primero pense ...Claro, define un nuevo ángulo llamemosle $\phi$

$\phi=\arctan\left(\dfrac{1+\sin\theta}{1+\cos\theta}\right)=\arctan\left(\dfrac{1+\sin(3t^2+2t)}{1+\cos(3t^2+2t)}\right)$

la velocidad angular es

$$\dfrac{\partial \phi}{\partial t}{(t=2s)}=?$$

y con esto se llegaba pero

la velocidad transversal sale también de la velocidad respecto del centro de la circunferencia $v=r\times \dot \theta$ una manera fácil

$v_t=\sqrt{v^2-v_R^2}$

la componente radial de la aceleración es

$a_R=\dfrac{\partial^2 R}{\partial t^2}{(t=2s)}=?$

así que la obtienes volviendo a derivar respecto del tiempo la expresión 1 de mi post #2

la aceleración angular es

$\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}{(t=2s)}=?$

que la obtienes volviendo a derivar respecto del tiempo la expresión 2 de este post

y la aceleración transversal sale de la aceleración respecto del centro de la circunferencia $a=r\times \ddot \theta$ y la manera fácil

$a_t=\sqrt{a^2-a_R^2}$