Envolvente de proyectil moviéndose por un medio viscoso

[Like Tony Stark]

Hola! Resulta que recordé un concepto muy interesante que había aprendido en mis clases de tiro parabólico: parábola de seguridad o envolvente.
Esta era la parábola que encerraba a todas las posibles trayectorias de un proyectil lanzando con una determinada velocidad inicial pero distintos ángulos.
Pero como este modelo que solo considera el peso me resultó muy simple, quise plantearlo para un movimiento de proyectil debajo del agua.

Consideré la fuerza de fricción viscosa lineal, el peso y el empuje. Por lo que las ecuaciones de Newton serían
x) -c.v=m.a
donde -c.v es la fricción viscosa
y) E-P+-cv=m.a
donde E es el empuje y cv tiene signo negativo para cuando el proyectil sube pero positivo para cuando baja.

Luego, con esas ecuaciones llegué la aceleración, velocidad y posición en función del tiempo para ambos ejes (que son ecuaciones muuuuy largas). Pero ahora que ya tengo todo esto qué debo hacer para encontrar la envolvente?

[Richard R Richard]

Lo que tienes que hacer(si es posible) es relacionar la altura máxima, con el alcance máximo,

cuando tienes una parábola en un fluido no viscoso, el pico máximo esta a mitad de distancia del alcance maximo,

pero si hay rozamiento viscoso no esta a la mitad, lo que tienes que hacer es calcular cual es la altura máxima, y cual es el tiempo para alcanzarla, luego con ese tiempo calculas cuanto se ha desplazado en la x, luego tienes un punto de la envolvente $[x(t),y_{max}(t)]$