Duda ejercicio Burbano. Un peso pende de un hilo mientras que de los cabos de la cuerda se cuelgan dos pesos iguales para lograr el equilibrio.

[Kiwi]

Hola!

El enunciado del ejercicio en el que tengo dudas es el siguiente.

Un peso de 10 kg pende de un hilo como se indica en la figura, mientras que de los cabos de la cuerda se cuelgan dos pesos iguales. Calcular el valor de éstos para lograr el equilibrio cuando:

1. El ángulo AOB es un ángulo recto.
2. El ángulo AOB es un ángulo genérico.

El resultado que obtengo en el apartado a. es correcto. Sin embargo, la expresión que yo obtengo para un ángulo genérico no coincide con la del libro (Burbano). Es curioso porque para el caso particular del apartado a., la expresión que yo he obtenido y la del Burbano arrojan el mismo resultado, pero para otros ángulos no.

Mi resolución es la siguiente:

Suponemos que la cuerda es inextensible, sin masa y que el rozamiento con las poleas es despreciable. Por lo tanto, teniendo en cuenta que las masas A y B son iguales, la tensión será la misma a lo largo de toda la cuerda.

Para lograr el equilibrio es necesario que la suma de las fuerzas aplicadas sobre cada uno de los cuerpos sume cero.

En el caso de A y B tendremos:
$\bar{F_A}=\bar{F_B}=\bar{F} _{g_m} +\bar{T}=0<br />$
Como en el eje x no hay fuerzas, tendremos que en el eje y:
$-F_{g_m} +T<br />$

En el caso de M tendremos:
$\bar{F_M}=\bar{T_A}+\bar{T_B}+\bar{F} _{g_m}$
En el eje x:
$0=-Tsin(\theta_A)+Tsin(\theta_B) \rightarrow \theta_A=\theta_B=\theta$
En el eje y:
$0=Tcos(\theta)+Tcos(\theta)-F_{g_M} \rightarrow F_{g_M}=2Tcos(\theta)$

Sustituímos el valor de la tensión en la ecuación anterior y llegamos a:
$F_{g_m}(\theta)=\frac{F_{g_M}}{2cos(\theta)}$

La resolución del Burbano es esta:

Ha de cumplirse que:
$R^2=x^2+x^2+2x^2cos(\varphi)=2x^2(1+cos(\varphi))$
Y por tanto:
$x=\frac{R}{\sqrt{2(1+cos(\varphi))}}$

¿En qué me estoy equivocando?

Gracias!

[JCB]

Hola a tod@s.

1) Considerando las componentes de todas las fuerzas en el eje Y,

$\sum{F_y}=0$,

$T\cos\theta+T\cos\theta-Mg=0$,

$T=\dfrac{Mg}{2\cos\theta}$.

Recordando que $\cos\theta=\sqrt{\dfrac{1+\cos2\theta}{2}}$,

$T=\dfrac{Mg}{\sqrt{2(1+\cos2\theta)}}$.

Luego, los resultados son equivalentes.


2) La solución del libro que indicas, es a partir del teorema del coseno, pero la encuentro excesivamente rebuscada.

$(Mg)^2=T^2+T^2-2TT\cos(180º-2\theta)$,

$(Mg)^2=2T^2+2T^2\cos2\theta$,

$T=\dfrac{Mg}{\sqrt{2(1+\cos2\theta)}}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Kiwi]

Luego, los resultados son equivalentes.

La solución del libro que indicas ... la encuentro excesivamente rebuscada.

Cierto. No había caído en la cuenta.
También he vuelto a hacer algunas evaluaciones numéricas y me dan el mismo valor con mi expresión y con la del Burbano (como era de esperar ya que son equivalentes).

Y sí, yo también creo que la solución del Burbano es algo rebuscada y, además, de poco contenido físico. Pero también es cierto que es una forma rápida de resolver el problema.


Muchas gracias!