Conservación de la energia y del momento angular

[Breogan]

Re: Conservación de la energia y del momento angular

Hola:

No resolví el ejercicio, pero me parece que hay por lo menos un error de concepto, la velocidad de una partícula siempre es tangente a su trayectoria por lo cual $v = v_t$.

Por lo planteado en el punto c del problema la trayectoria de la partícula resulta ser una espiral, por lo cual la velocidad de esta no es perpendicular al vector posición.

La velocidad de la partícula se puede descomponer en las direcciones del vector posición y de la normal a este, resultando:

$\dst \vec v = \vec v_t = \vec v_r + \vec v_{nr}$

Donde $\dst \vec v_{nr}$ es la componente de la velocidad en la dirección normal al vector posición, y es el que aparece en la conservación del momento angular.
Y el problema se resuelve con los teoremas de conservación. Creo !!!!!

s.e.u.o.

Suerte

[fafafa]

Re: Conservación de la energia y del momento angular

Carmelo, creo que en la energía final estas omitiendo un termino, ya que cuando el cuerpo m2 se mueve hacia abajo hay un cambio en su energía potencial gravitatoria.

- - - Actualizado - - -

Breogan, creo que en el inciso b),en el instante inicial, en el que la masa cambia de m2 a 2*m2, la velocidad si es perpendicular al vector posición y es la hallada en el inciso a). es decir en el instante inicial no hay velocidad en el eje radial.

[carmelo]

Re: Conservación de la energia y del momento angular

Hola. Todo depende de donde tomemos el cero de energia potencial. Yo estoy calculando las velocidades una vez que el cuerpo 2 recorrió una distancia h. Por lo tanto tomando como cero de energia un punto ubicado una distancia h por debajo del punto de partida, sólo tenemos en cuenta la energia potencial en el instante inicial, ya que en el instante final se definió como cero.
Obviamente este balance tambien es válido para $h=H$.

Saludos
Carmelo

[Breogan]

Re: Conservación de la energia y del momento angular

Hola:

Breogan, creo que en el inciso b),en el instante inicial, en el que la masa cambia de m2 a 2*m2, la velocidad si es perpendicular al vector posición y es la hallada en el inciso a). es decir en el instante inicial no hay velocidad en el eje radial.

Esto es correcto pero solo se usa para conocer el valor de las cantidades conservadas, cuando el sistema evoluciona la velocidad de la masa deja de ser perpendicular al vector posición.
Usualmente para resolver estos problemas se toma el instante inicial y un instante genérico para plantear las cantidades conservadas, de forma de obtener una función.

En tu post original tu duda la referís al punto c del problema, pero por las dudas que planteas es probable que en el punto b también tengas algún error.

Para empezar el problema se puede dividir en dos situaciones físicas esencialmente diferentes, la 1º esta integrada por los puntos a y parte del d, y se trata de una situación de equilibrio dinámico, en el cual se debe obtener el valor de $v_{01}$ para esta condición resultando $\dst v_{01} = f(m_1,m_2,r_0)$

La 2º situación física, integrada por los puntos b, c, y parte del d, el sistema no esta en equilibrio y el objeto de estudio es la evolución de sus coordenadas en función del tiempo. Aunque se suele pasar por alto yo recomiendo como una buena praxis definir explicitamente un sistema de referencia; y en lo posible en base al anterior definir las variables (escalares o vectoriales)(*).

Para este problema el SR mas cómodo (siempre a mi criterio) sería en coordenadas cilíndricas con el semieje z+ hacia arriba, y con el origen a nivel del suelo en la linea vertical que pasa por la masa m2, y el movimiento de la masa m1 estaría contenida en el plano $r , \theta$. Tomamos la referencia de la energía potencial gravitatoria igual a cero en el origen de coordenadas de nuestro SR.

Definimos algunas variables:

$\dst \vec r_1 = r_1 \ \hat r + h_m \ \hat z$

$\dst \vec r_2 = r_2 \ \hat z$

$\dst \vec v_1 = v_{1r} \ \hat r + v_{1 \theta} \ \hat {\theta}$ donde $\dst v_{1r} = \frac {d r_1}{dt} \quad y \quad v_{1 \theta} = r_1 \frac {d \theta_1}{dt}$

$\dst \vec v_2 = v_2 \ \hat z$ donde $\dst v_2 = \frac {d r_2}{dt}$

Las que falten se pueden definir mas tarde.

El momento angular queda:

$\dst \vec L_1 = L_1 \ \hat z = \vec r_1 \ \times \ m_1 \vec v_1$

$$\dst L_1 = r_1 \ m_1 \ v_{1 \theta}$$

Y la energía es:

$\dst E_T = E_{c1} + E_{p1} + E_{c2} + E_{p2}$

$\dst E_T = \frac 1 2 m_1 |\vec v_1|^2 + m_1 \ g \ \vec r_1 \ \hat z + \frac 1 2 m_2^* |\vec v_2|^2 + m_2^* \ g \ \vec r_2 \ \hat z$

$$\dst E_T = \frac 1 2 m_1 (v_{1r}^2 + v_{1 \theta}^2) + m_1 \ g \ h_m + \frac 1 2 m_2^* v_2^2 + m_2^* \ g \ r_2$$

donde $m_2^* = 2 m_2$, y $m_2 = g (r_0, m_1, v_{01})$ la despejas de lo hallado en el punto a, y h_m es la altura de la mesa en nuestro SR.

Lo que queda por plantear son las ecuaciones que ligan las variables, p.e. r2 con r1 (y que también te va a relacionar $v_{1r} \ y \ v_2$), y resolver el problema por conservación de las cantidades dadas por la ecuación (1) y (2).

s.e.u.o.

Suerte.

(*): Esto sobre todo cuando se comienza con un tema nuevo, hasta obtener la gimnasia mental necesaria para saltarse pasos obvios.

[ValdiviaAlan]

Duda sobre tensión de una cuerda

Con respecto al inciso C, estuve intentando mostrar matemáticamente que se conservaba la energía cinética, logré hacerlo con dinámica. Aunque no se si sea la forma más óptima, ¿Saben si hay alguna forma más sencilla?

Plantee lo siguiente:

$DCL1: \sum \vec{F_{m1}} = -T \cdot \vec{e_r} = -m_1a_1\cdot\vec{e_r}$
$DCL2: \sum \vec{F_{m2}} = (-2m_2g+T) \cdot \vec{k} = -2m_2a_2\cdot\vec{k}$

En principio, $a_2$ es la aceleración con la que el cuerpo 2 desciende, considerando que la cuerda es inextensible cualquier variación del largo r sobre la mesa produce exactamente el mismo cambio en la altura h, o lo que es igual $\Delta r = \Delta h$, esto implica dos cosas:
1: $r-r_0=h-H \Rightarrow r=h+r_0-H$ (Estoy considerando mi origen de coordenadas en el lugar donde caería la masa m₂ si recorriera la distancia H)
2: $\Delta r =\Delta h \Rightarrow \frac{dr}{dt}=\frac{dh}{dt}\Rightarrow \ddot h = \ddot r = a_2$

De las ecuaciones de cuerpo libre obtengo:

$T =m_1a_1$

$2m_2g-T=2m_2a_2$

Sumando ambas ecuaciones:

$2m_2a_2+m_1a_1=2m_2g$

Reemplazando con lo obtenido anteriormente:

$2m_2\ddot r+m_1(\ddot r-v_\theta^2/r)=2m_2g$

$(m_1+2m_2)\ddot r = (m_2g\frac{r_o^3}{r^3}-2m_2g)$

Si consideramos $\ddot r = \dot r \frac{d\dot r}{dr}$ y la expresión que obtuvimos en el inciso B para $v_\theta$

$(m_1+2m_2)\dot r d\dot r= (m_2g\frac{r_o^3}{r^3}-2m_2g)dr$

Integrando considerando los extremos y reordenando la expresión llegué a esto:

$2m_2gh+\frac{1}{2}m_1v_{1f}^2+m_2v_{2f}^2=\frac{1}{2}m_1v_{01}^2+2m_2gH$

que en términos de energía:

$\Phi_{p2f} + K_{c1f}+K_{c2f}=K_{c1i}+\Phi_{p2i}$

y por lo tanto:

$E_{mf}=E{mi}$

[Pola]

Re: Conservación de la energia y del momento angular

Total, que menudo problemita....para salir corriendo.

[Richard R Richard]

Re: Conservación de la energia y del momento angular

El enunciado en texto es el siguiente

Los cuerpos m1 y m2 están unidos mediante una cuerda inextensible, de masa
despreciable, que pasa por un agujero en la mesa horizontal libre de rozamiento; mientras m1 se mueve a lo
largo de una trayectoria circular de radio ro, el cuerpo m2 cuelga bajo la mesa.
a) Obtenga una expresión para la velocidad v01 que debe tener m1 si se desea que el cuerpo m2 permanezca
en reposo respecto de un sistema de referencia fijo a tierra.


b) Suponiendo que mientras m1 se mueve con la velocidad obtenida
en a), la masa del cuerpo m2 se duplica, (el sistema deja el
equilibrio). Determinar el vector momento angular del cuerpo que
gira sobre la mesa respecto del centro de la trayectoria ¿Se mantiene
constante? Justifique.
c) Obtenga una expresión para el módulo de la velocidad de cada
cuerpo, respecto de tierra, en función del camino H recorrido por m2 a medida que cae.
d) Obtenga expresiones para la tensión en la cuerda en ambas situaciones.

Es el problema N°17 de la guia de Problemas N°3 del Dpto. de Física de la UNS perteneciente a la Cátedra de Física I del Prof. Dr. G. Gasaneo y el Dr. C. Ghezzi
http://www.gasaneofisica.uns.edu.ar/...uiaEnergia.pdf




Para a) planteamos la segunda ley de Newton ,la sumatoria de fuerzas en el plano horizontal, y en el eje vertical igualadas a las masas por su respectivas aceleraciones

$$\dst\sum F_h=T=m_1\dfrac{v_0^2}{r_0}$$

$$\dst\sum F_v=m_2g-T=m_2 a$$

como pide equilibrio nos está diciendo que la aceleración de la masa 2 es nula $a=0$ luego

$$m_2g-T=0$$

$$m_2g=T=m_1\dfrac{v_0^2}{r_0}$$

luego

$$v_0=\sqrt{\dfrac{m_2gr_0}{m_1}}<br />$$

b) al tratarse de fuerzas conservativas y centrales el momento angular inicial se conserva, el modulo del momento angular inicial es

$$L=m_1r_0v_0$$

c) cuando coloco una carga de $2 m_2$ y esta desciende una longitud $H$ o camino

$$L=m_1(r_0-H)v_t$$

$v_t$ es la velocidad tangencial transversal de la masa 1

luego

$$v_t=\dfrac{v_0r_0}{r_0-H}$$

los equilibrio de fuerza quedan

$$\dst\sum F_h=T_2=m_1\dfrac{v_0^2}{r_0-H}+m_1 a_r$$

$$\dst\sum F_v=2m_2g-T_2=2m_2 a_r$$

planteando la conservación de la energía mecánica sabiendo que la velocidad de descenso de $m_2$ es igual a la velocidad radial de $m_1$

$$\dfrac12 m_1v_0^2+2m_2g H_o=\dfrac12 m_1v_r^2+\dfrac12 m_1v_t^2+2m_2g (H_o-H)+\dfrac12 2m_2v_r^2$$

reemplazando 8 en 11 y haciendo simplificaciones

$$\dfrac12 m_1v_0^2+2m_2g H=\left(\dfrac12 m_1+\dfrac12 2m_2\right)v_r^2 +\dfrac12 m_1\left(\dfrac{v_0r_0}{r_0-H}\right)^2$$

luego

$$v_r=\sqrt{\dfrac{\dfrac12 m_1v_0^2+2m_2g H-\dfrac12 m_1\left(\dfrac{v_0r_0}{r_0-H}\right)^2}{\dfrac12 m_1+\dfrac12 2m_2}}<br />$$

el modulo de la velocidad de $m_1$ es

$$v_1=\sqrt{v_r^2+v_t^2}=$$

$=\sqrt{\left(\dfrac{\dfrac12 m_1v_0^2+2m_2g H-\dfrac12 m_1\left(\dfrac{v_0r_0}{r_0-H}\right)^2}{\dfrac12 m_1+\dfrac12 2m_2}\right)^2+\left(\dfrac{v_0r_0}{r_0-H}\right)^2}$

el modulo de la velocidad de $m_2$ es solo el de la velocidad de descenso

$$v_2=\sqrt{\dfrac{\dfrac12 m_1v_0^2+2m_2g H-\dfrac12 m_1\left(\dfrac{v_0r_0}{r_0-H}\right)^2}{\dfrac12 m_1+\dfrac12 2m_2}}<br />$$

d) para el primer caso volvemos a la fórmula 3 y tenemos que $T=m_2g<br />$

para el segundo caso

primero calculamos la aceleración radial

$$a_r=\dfrac{2m_2g+\dfrac{m_1v_0^2}{r_0-H}}{m_1+2m_2}$$

luego$T_2$ sale de despejarla en la formula 10

$$T_2=2m_2g-2m_2\dfrac{2m_2g+\dfrac{m_1v_0^2}{r_0-H}}{m_1+2m_2}$$

[oscarmuinhos]

Re: Conservación de la energia y del momento angular

c) cuando coloco una carga de $2 m_2$ y esta desciende una longitud $H$ o camino

$$L=m_1(r_0-H)v_t$$

$v_t$ es la velocidad tangencial de la masa 1

luego

$$v_t=\dfrac{v_0r_0}{r_0-H}$$

Solamente señalar una errata (en un desarrollo anterior la nombrabas correctamente): ${v}_{t}$ es la velocidad transversal, es decir la componente de la velocidad en la dirección perpendicular a la cuerda que tira. ( la velocidad siempre es tangencial y, por lo tanto, no tiene sentido descomponerla en una dirección "tangencial" y otra "radial?")
Un saludo
Y muchas gracias por todo este tu muy interesante desarrollo.