1r ciclo Elevador en caída libre y resorte

[franco_c2]

Hola, tengo una duda teórica con respecto al inciso d) de un problema (8-59 Resnick-Halliday) que dice así:

El cable del elevador de 4000 lb que se muestra en la figura se revienta cuando el elevador está en reposo en el primer piso estando el fondo a una distancia d=12 ft sobre un resorte amortiguador cuya constante de fuerza es k=10000 lb/ft. Un dispositivo de seguridad abraza los rieles de guía extrayendo 1000 lb*ft de energía mecánica por cada 1.00 ft que se mueve el elevador.

d) Calcule aproximadamente la distancia total que recorrerá el elevador antes de llegar al reposo. ¿Por qué no es exacta esta respuesta?


La duda es sobre la pregunta del inciso, ya que el cálculo de la distancia creo que está bien porque coincide con el resultado que da el libro.
Creo que la respuesta no será exacta porque en vez de oscilar infinitamente (una distancia total que debe converger), la masa se detendrá bruscamente en algún momento debido a la fricción estática. Quitando la fuerza de fricción estática no se me ocurre otro motivo por el cuál no habría una respuesta exacta.

Ahora adjunto la resolución como plus ya que lo resolví mientras escribía el hilo

Primero calculé el punto de equilibrio donde quedaría oscilando la masa sobre el resorte

$x=\dst\frac w k =0.4 ft$


Para calcular la distancia total usé $\Delta U_g + \Delta U_s = -W_f$

$-w(d+x)+\dst \frac 1 2 kx^2=-1000 d_{T}$
$d_{T}=48.8 ft$

[JCB]

Hola a tod@s.

Según parece, la única pérdida de energía mecánica, la provoca el freno de seguridad al actuar sobre las guías.

Inicialmente, el elevador solo posee energía potencial gravitatoria. El elevador irá rebotando de forma reiterada contra el muelle (aunque este no robará energía al elevador), hasta que toda la energía potencial gravitatoria inicial se disipe debido al rozamiento antes comentado.

$mgd=w_rL$,

$L=\dfrac{mgd}{w_r}=\dfrac{1.814,40\ kg \cdot 9,8\ m/s^2 \cdot 3,66\ m}{4.445,28\ J/m}=14,63\ m=48\ pies$.

Nota: llamo $w_r$ al ratio de energía mecánica pérdida (debidamente convertido al sistema internacional).

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Algo no cuadra solo cae 12;pies la longitud no puede ser 48 pies, fíjate que primero se frena lateralmente, hy un trabajo de la fuerza fe rozamiento

Sino el reosorte se comprime al máximo y el ascensor choca con el piso

[JCB]

Hola a tod@s.

Richard: yo interpreto (repito lo dicho en mi mensaje # 2) que el ascensor va oscilando hasta que la energía potencial gravitatoria inicial se consume, y se alcanza el reposo. La suma de todas las distancias recorridas en esas oscilaciones es $L$. El muelle no contribuye a amortiguar la oscilación, lo único que contribuye a la amortiguación, y por tanto a la detención, es el freno de emergencia.

Por cierto, en la primera compresión, me da que el muelle se comprime $\Delta y=0,91\ m=3\ pies$.

Aunque de todas formas, me hace dudar el hecho de no tener en cuenta a la constante elástica del muelle para calcular $L$. Seguiré cavilando en el asunto.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola JCB si oscila en algún punto queda en reposo o velocidad nula, que el resorte lo impulse hacia arriba nuevamente es otra cosa, al menos lo interpreto así,
pierde energía por rozar y acumula hasta el máximo en el resorte. Eso es lo máximo que cae hasta detenerse.


De ser el caso como lo planteas no hay respuesta exacta porque para alcanzar el reposo hace falta un tiempo infinito.

[JCB]

Hola a tod@s.

He llegado a la conclusión de que la distancia total recorrida por el ascensor $L=14,63\ m$, es una buena aproximación. Para poder reafirmar este resultado previo, he utilizado un método alternativo, aunque también aproximado, pedestre y basado en balances energéticos.

Una vez calculada la distancia de la primera compresión, obtengo la altura conseguida en el primer rebote (o ascenso). Después calculo la distancia de la segunda compresión, obteniendo la altura conseguida en el segundo rebote, y así sucesivamente, hasta la quinta compresión (aquí me he parado, porque al utilizar una ecuación de segundo grado, la solución de ésta ya no es aplicable).

Si alguien, con conocimiento del tratamiento o método matemático adecuado (entiendo que se puede tratar como una oscilación amortiguada), se presta a publicar la solución exacta, se lo agradeceré. Mientras tanto, estos son los resultados que he obtenido:

Recorrido nº	Altura comprimida (m)	Altura alcanzada (m)	Distancia recorrida (m)	Distancia recorrida (m)
1er descenso	0,91	-	3,66+0,91	4,57
1er ascenso	-	1,83	0,91+1,83	2,74
2º descenso	0,68	-	1,83+0,68	2,51
2º ascenso	-	0,83	0,68+0,83	1,50
3er descenso	0,49	-	0,83+0,49	1,32
3er ascenso	-	0,30	0,49+0,30	0,79
4º descenso	0,34	-	0,30+0,34	0,64
4º ascenso	-	0,04	0,34+0,04	0,39
5º descenso	0,22	-	0,04+0,22	0,26
Total				14,72

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola, en efecto, lo único que transforma la energía mecánica del sistema en calor, es el rozamiento del freno lateral. Así el trabajo de la fuerza de rozamiento que es constante se iguala a la energía mecánica inicial, y eso te da la distancia total que puede recorrer.

ojo con las unidades lb es una unidad de fuerza no de masa el peso del ascensor es 4000 lb....mejorado mas adelante

$E_m=mgh=W=F_rd_T$

$E_m=4000lb12ft=W=1000lb.ft/ft d_T$

Luego $dT=48 ft$ exactos o $14.6304m$ , que sera la misma que recorrerá en todas las oscilaciones, pero utilizas el método de sumas todas las distancias de cada oscilacion, no llegas al valor exacto ya que debes sumar infinitos términos.

Reiterando mi punto de vista en el primer punto donde llega a velocidad nula que identifico como reposo es

$E_m=mg(h+L)=\dfrac12KL^2+F_r(L+h)=E_{pe}+W$

$4000lb(12ft+L)=\dfrac1210000lb/ftL^2+1000lb.ft/ft(L+12 ft)$

una ecuación cuadrática te arroja el resultado para L que arroja una solución positiva de $L=3 ft$

luego lo que recorre hasta el primer reposo es 15ft es un reposo transitorio.....


https://es.wikipedia.org/wiki/Reposo

Reposo transitorio o en el límite de un movimiento, como al que se llega cuando lanzamos verticalmente hacia arriba un objeto. Cuando alcanza su altura máxima, en ese instante la velocidad se hace nula (cero) y el cuerpo se encuentra en un estado transitorio de reposo. Pasado ese estado (de tiempo igual a cero), el cuerpo continúa su movimiento de caída.

[JCB]

Hola a tod@s.

Perfecto Richard. Compruebo que, al final, coincides conmigo. Ahora, lo deseable, como ya he dicho en mi mensaje # 6, sería que alguien hiciese el tratamiento matemático riguroso a partir de considerar oscilaciones amortiguadas. Yo, como no tengo el conocimiento necesario, no creo que pueda llegar al resultado final haciendo esa consideración.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

A ver si te puedo contribuir en algo a lo que esperas

este sistema no es igual a un sistema de oscilaciones amortiguadas donde la fuerza amortiguadora es proporcional a la velocidad, aquí es una constante en el tiempo y la posición

para describir el movimiento partes de una caída (no libre) donde la aceleración es $g-\dfrac{F_r}{m}$ con un sistema de referencia positivo hacia abajo con el cero sobre el resorte sin comprimir.

$x= -h+\dfrac{1}{2}(g-\dfrac{F_r}{m})t^2$ cuando desciende y


$x= -h+\dfrac{1}{2}(g+\dfrac{F_r}{m})t^2$ cuando asciende

cuando toca el resorte, pasara a tener que resolver una ecuación diferencial donde

$\dfrac{d^2x}{dt^2}=g-\dfrac{F_r}{m}-K(x-x_0)$

cuando desciende utilizando condiciones de contorno como la velocidad con que toca o se desprende del resorte. tienes la cinematica...


y cuando asciende tienes

$\dfrac{d^2x}{dt^2}=g+\dfrac{F_r}{m}-K(x-x_0)$



cada vez que $x<x_0=0$ vuelves a un sistema como la primer ecuación

cada punto de cambio de funcion corresponde a x=0 o v=0

[franco_c2]

Hola, gracias por responder y perdón por la tardanza. Al principio hice una lista de todas las distancias individuales para poder sumarlas. Después apliqué el método de la energía y al igual que JCB la distancia total me daba 48 ft. Pero resulta que está mal según el libro; la solución que da es 48.8 ft. Indagué más y me di cuenta que la diferencia de altura hasta llegar al reposo no puede ser 12 ft (porque esto significaría que el resorte no se comprime nada) sino 12 ft + $x$, siendo $x$ lo que se comprime el resorte para llegar al equilibrio estático. Evidentemente ahora interviene la energía potencial elástica, ya que toda la energía inicial (potencial gravitatoria) se transforma en calor y potencial elástica. Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Fantástico franco_c2. Mis disculpas a ti, porque dabas la solución en el primer mensaje y no te he hecho caso. Efectivamente, mi enfoque ha sido en el sentido dinámico, pero no hacía falta.

Simplemente (es un decir, porque a mí me ha costado lo suyo), y según tu mensaje # 1, podemos plantear el balance energético considerando el estado inicial (la energía potencial gravitatoria del ascensor detenido a una altura $d+\Delta y_e$) y el estado final (la energía potencial elástica del muelle comprimido una altura $\Delta y_e$, con el ascensor encima, y en reposo), teniendo en cuenta la pérdida de energía debido al freno de emergencia.

Ahora bien, y siendo algo puntilloso, discrepo de la solución $48,80\ pies\ (14,87\ m)$, pues entiendo que la deformación estática del muelle también debería calcularse teniendo en cuenta a la fuerza de rozamiento del freno:

$\Delta y_e=\dfrac{mg-w_r}{k}=0,0914\ m$ (en lugar de $0,1219\ m$).

$mg(d+\Delta y_e)-w_rL=\dfrac{1}{2}k(\Delta y_e)^2$,

$L=\dfrac{mg(d+\Delta y_e)-\dfrac{1}{2}k(\Delta y_e)^2}{w_r}=14,86\ m\ (48,75\ pies)$.

Nota: te animo a seguir planteando ejercicios como este. Me lo he pasado fenomenal.

Gracias otra vez y saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Aver franco dice que el total de la caída hasta el punto de equilibrio es de 12.4ft porque 12 son caída libre y 0.4 son los necesarios para llegar al punto de equilibrio,

Recién lo acabo de ver y lleva razón, en el estado final el resorte queda comprimido y en el inicial no lo esta


cada vez que la velocidad es nula el rozamiento dinámico cambia de sentido . sino imponemos condiciones para que el movimiento se inicie nuevamente. El equilibrio se alcanza cuando el peso es igual a la fuerza que hace el resorte

$mg=k\Delta x_{eq}$

$\Delta x_{eq}=\dfrac{4000lb}{10000lb/ft}=0.4ft$

$E_m=4000lb(12+0.4)ft=W=1000lb.ft/ft d_T$ meti la pata me falto la energia potencial del resorte comprimido

$d_T=49.6ft$

En teoría fuera de la idealidad, el elevador no se moverá mas cuando la fuerza de rozamiento sea mayor a la fuerza del resorte en
$|F_r|\geq|mg-k(\Delta x_{eq}-x_f)|$



En definitiva recorrerá menos de los 49.6 pies

Y quedara en un punto entre ft por encima o por debajo del equilibrio o bien 0.3ft por arriba o 0.5ft por abajo del punto de equilibrio

así la mínima distancia que recorrerá es de

$E_m=4000lb(12+0.4-0.3)ft=W=1000lb.ft/ft d_T$

$d_T=48.4 ft$

que son los resultados que buscas

[JCB]

...

$E_m=4000lb(12+0.4)ft=W=1000lb.ft/ft d_T$

$d_T=49.6ft$
...

Hola a tod@s.

Disculpa Richard, pero este balance energético diría que no es correcto: falta considerar la energía potencial elástica del muelle. Te remito al mensaje # 1 de franco_c2, que me ha servido de argumento para mi mensaje # 11.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Si si gracias tienes razón, aver si lo sacamos de una vez en limpio

$E_m=4000lb(12+0.4)ft-\dfrac12 10000 lb/f_t0.4^2ft^2=1000lb.f_t/f_t \, d_T$

$d_T =48,8ft$

Pero por todo lo que dije antes se frenara cuando alcance un punto de velocidad nula entre $[x\in[-0.3+X_{eq},+0.5+X_{eq}]$

en ese rango la fuera de rozamiento es superior a la fuerza del muelle, luego alli se queda, por eso no recorre los 48.8 ft. seguramente en una simulación lo logras ver,
no se si consideraste, que si la velocidad cuando $\Delta x=x_eq$ es mayor que 0 vuelve a quedar en caida libre con rozamiento, pero sin contacto con el resorte...