Otras carreras Órbitas satelitales

[fafafa]

Estoy tratando de resolver el inciso a) con la ecuación de binet, despejando la excentricidad y remplazandola por 0 en el caso de la circunferencia. pero la velocidad me termina quedando como un polinomio de tercer grado. ¿hay alguna otra forma para hallar los dominios de velocidad que serian cuando la excentricidad=0 y la excentricidad=1 ?. saludos.

[Richard R Richard]

Re: Órbitas satelitales

Con respecto a la ecuación de binet no puedo aportar nada pero si


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


saludos $\mathbb R^3$

[arivasm]

Re: Órbitas satelitales

¿No será cuestión de mejor enfocarlo a través del potencial centrífugo y ver los valores extremos de r en función de los valores del momento angular y de la energía? Es decir, manejar que

$\dst E=\frac{1}{2}m\dot r^2+\frac{L^2}{2mr^2}-G\frac{Mm}{r}$

y hacer $\dot r=0$, lo que nos permite analizar para qué casos tendremos un sólo extremo (órbita parabólica), dos iguales (circular), o dos diferentes (elipse). Incluso se podrá ver, para esta última situación, en qué casos el menor de ellos es menor que R, lo que significa que habrá colisión con el planeta.

Por supuesto, L y E deben substituirse por los valores que correspondan a la situación inicial.

[Richard R Richard]

Re: Órbitas satelitales

Creo que lo que propones es hacer matematicamente , lo que intuitivamente he hecho

el caso 1 sin velocidad inicial tiene trayectoria en caida libre y choca con el planeta
el caso 2 hay velocidad inicial pero insuficiente para evitar caer hacia el planeta
el caso 3 hay velocidad inicial y suficiente para evitar caer hacia el planeta dando trayectoria eliptica interior a la circunferencia
el caso 4 hay velocidad suficiente y justa para evitar caer hacia el planeta dando trayectoria en circunferencia
el caso 5 hay velocidad inicial y suficiente para evitar caer hacia el planeta dando trayectoria eliptica exterior a la circunferencia
el caso 6 supera la velocidad de escape y define una trayectoria hiperbolica

Saludos $\mathbb R^3<br />$

[visitante20160513]

Re: Órbitas satelitales

1º).- Demostrar que las órbitas son curvas planas.

2º).- Proyectar el movimiento sobre dos ejes ortogonales situados en el plano de la órbita, uno radial y otro tangencial (uso de coordenadas polares)

3º).- Resolver las ecuaciones diferenciales obtenidas para cada una de las proyecciones.

Puedes visualizar el desarrollo aquí https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93rbita

[arivasm]

Re: Órbitas satelitales

Creo que lo que propones es hacer matematicamente , lo que intuitivamente he hecho

Sin duda. Pero las soluciones que has puesto son las que corresponden al apartado a). Lo que yo tenía en mente es el problema que se encontrará nuestro compañero al abordar el b). Claro que las soluciones serán exactamente las mismas, si no nos preocupamos del caso circular ni de si podrá haber o no impacto con el planeta, aspectos que, por otra parte, el enunciado tampoco incluye.

De todos modos, he releído tu respuesta y creo que tiene errores. La trayectoria parabólica corresponderá con la velocidad de escape, $\dst v_0=\sqrt{2G\frac{M}{r_0}}=\sqrt{G\frac{M}{R}}$. Para velocidades inferiores tendremos siempre una elipse, y para mayores una hipérbola. El caso $v_0=0$ es una elipse degenerada. Esta respuesta valdrá tanto para a) como para b)

[Richard R Richard]

Re: Órbitas satelitales

Sin duda. Pero las soluciones que has puesto son las que corresponden al apartado a).

Si yo solo propuse pasa ese apartado, pues es lo que inidcaba fafafa

De todos modos, he releído tu respuesta y creo que tiene errores. La trayectoria parabólica corresponderá con la velocidad de escape, $\dst v_0=\sqrt{2G\frac{M}{r_0}}=\sqrt{G\frac{M}{R}}$. Para velocidades inferiores tendremos siempre una elipse, y para mayores una hipérbola. El caso $v_0=0$ es una elipse degenerada. Esta respuesta valdrá tanto para a) como para b)

creo que la velocidad de escape que yo tome necesaria para escapar desde la superficie de la tierra, pero a 2R del centro sera inferior como tu dices $\sqrt{G\frac{M}{R}}$

saludos

[arivasm]

Re: Órbitas satelitales

De todos modos, no sólo discrepo en el valor de la velocidad de escape (que entiendo que estamos de acuerdo), sino también con el comportamiento que pones en tu mensaje. Así, a la velocidad de escape (entendiendo que la asignaste a $r_0=R$) le atribuiste una trayectoria circular, y que habría trayectorias parabólicas para velocidades inferiores, etc. Como dije, entiendo, por simples consideraciones energéticas, que la división es la siguiente: para velocidades inferiores a la de escape la trayectoria es elíptica (lo que podrá incluir -sólo en el apartado a)- el caso particular circular, para una velocidad igual a la de escape dividida por $\sqrt{2}$), para una igual a la velocidad de escape es parabólica y para velocidades superiores es hiperbólica.

[fafafa]

Re: Órbitas satelitales

Richard, ¿como has llegado a el valor de la parábola y porque pones que hay dos elipses?

[Richard R Richard]

Re: Órbitas satelitales

De todos modos, no sólo discrepo en el valor de la velocidad de escape (que entiendo que estamos de acuerdo), sino también con el comportamiento que pones en tu mensaje. .

Vayamos por partes fafafa, para ver si aprendo algo de paso...

mi criterio es para el caso 1 $v_i=0$ es una caída libre en dirección radial. Es una trayectoria recta.Es decir considerando energías y la masa del satelite unitaria

$-\dfrac {MG}{2R}=\frac 12V_r^2-\dfrac {MG}{R}$

donde $V_r$ sera la velocidad con que choque a la superficie de la tierra.

Según arivasm es un trayectoria elíptica donde uno de los semiejes es nulo , esto es decir que los puntos estarán descriptos en un sistema de ejes cartesianos por la ecuación

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\leqslant1$

donde $a=2R$ y $y=0\:\forall x,b$

En 2 yo interpreto parábola mientra choca con la superficie de la tierra, y elipse cuando no lo hace, en cambio arivasm dice que son elipses ambos casos, y el caso es que tiene razón , con choque o sin choque es una elipse, se trunque el movimiento o no.

cito a wikipedia

A velocidades inferiores a la de escape, el proyectil se convertiría en un satélite artificial en órbita elíptica alrededor del astro que lo atraiga. Según las dimensiones del astro y la velocidad inicial del proyectil, puede ocurrir que esa trayectoria elíptica se complete o que termine en colisión con el astro que atrae al proyectil. En este segundo caso, suele aproximarse la trayectoria elíptica por una parábola (Tiro parabólico).

para determinar cual el la velocidad mínima para que no choque la superficie de la tierra. considero que su energía potencial cae hasta el radio de la tierra, y la cinética aumenta y se conserva el momento angular L

$L=v_i2R=v_fR$ entonces $v_f=2v_i$

con energías

$-\dfrac {MG}{2R}+\frac 12V_i^2=\frac 12V_f^2-\dfrac {MG}{R}$

$-\dfrac {MG}{2R}+\frac 12V_i^2=\frac 12 4V_i^2-\dfrac {MG}{R}$

de donde $v_i=\sqrt{\dfrac{M_tG}{3R}}$ sera la minima velocidad para no impactar en la tierra con una trayectoria elíptica.

en 3 tenemos mayor velocidad por ello la trayectoria es un elipse,[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] hasta que ambos semiejes de la elipse se hacen iguales dando por resultado una circunferencia.

por ello en 4 la trayectoria es una circunferencia cuando la aceleración radial es igual a la aceleración centrípeta. la circunferencia es un caso particular de elipses.


$\dfrac {v_i^2}{2R}=\dfrac{M_tG}{(2R)^2}$

de donde

$v_i=\sqrt{\dfrac{M_tG}{2R}}$


En 5 cuando $v_i > \sqrt{\dfrac{M_tG}{2R}}$ tenemos nuevamente elipses hasta que se alcance la velocidad de escape.

este limite se alcanza cuando la energía potencial en el punto es igual a la energía cinética inicial del satélite


$-\dfrac{M_tG}{2R}=\frac 12 v_i^2$

de donde $v_i=\sqrt{\dfrac{M_tG}{R}}$ cuya trayectoria arivasm afirma es una parábola, creo que tiene sentido pues una parábola es la cónica que separa a las elipses de las hipérbolas.

por ello superando ese valor de la velocidad de escape obtendremos trayectorias hiperbólicas.

Así, a la velocidad de escape (entendiendo que la asignaste a $r_0=R$) le atribuiste una trayectoria circular,

$v_i=\sqrt{\dfrac{M_tG}{2R}}\mapsto circunferencia \:4$

el caso 4 hay velocidad suficiente para evitar caer hacia el planeta y justa dando trayectoria en circunferencia
el caso 5 hay velocidad inicial y suficiente para evitar caer hacia el planeta dando trayectoria elíptica exterior a la circunferencia
el caso 6 supera la velocidad de escape y define una trayectoria hiperbólica

no arivasm a la velocidad de escape no le asigne trayectoria circular,

y que habría trayectorias parabólicas para velocidades inferiores, etc.

si me confundi en las trayectorias elípticas internas, por eso del "tiro parabólico" conteste sin pensarlo demasiado también en el calculo de la velocidad de escape que ya acordamos.

Como dije, entiendo, por simples consideraciones energéticas, que la división es la siguiente: para velocidades inferiores a la de escape la trayectoria es elíptica (lo que podrá incluir -sólo en el apartado a)- el caso particular circular, para una velocidad igual a la de escape dividida por $\sqrt{2}$), para una igual a la velocidad de escape es parabólica y para velocidades superiores es hiperbólica

de acuerdo.

Saludos $\mathbb R^3$

[fafafa]

Re: Órbitas satelitales

Gracias Richard, lo pude entender.

- - - Actualizado - - -

Hola arivasm, ¿porque decís que si hacemos obtendremos los extremos? yo haría solamente para hallar la órbita circular, ya que no hay velocidad en el eje radial.

[Alriga]

Re: Órbitas satelitales

... En 2 yo interpreto parábola mientra choca con la superficie de la tierra, y elipse cuando no lo hace, en cambio arivasm dice que son elipses ambos casos, y el caso es que tiene razón, con choque o sin choque es una elipse, se trunque el movimiento o no...
... si me confundí en las trayectorias elípticas internas, por eso del "tiro parabólico" conteste sin pensarlo demasiado también en el calculo de la velocidad de escape que ya acordamos ...

Has sido víctima del lenguaje común, que nos hace llamar tiro parabólico a las trayectorias de objetos que impactan contra el suelo sin llegar a ponerse en órbita.
En la trayectoria de ese tipo de tiro sale la ecuación de una parábola porque hacemos la simplificación de que los vectores aceleración de la gravedad son siempre paralelos entre sí en todo punto de la trayectoria.
Pero la realidad no es así, puesto que convergen en el centro de la Tierra, (formando un ángulo muy pequeño porque la distancia al centro del planeta es enorme respecto de las dimensiones que estamos considerando) Si se tiene eso en cuenta, las trayectorias salen elípticas con el foco en el centro de la Tierra.
Eso sí, son trocitos de una elipse de gran excentricidad que son indistinguibles de un arco de parábola, a no ser que la altura o el alcance sea de muchos kilómetros y no sea tan despreciable respecto del radio de la Tierra.
Saludos.

[Al2000]

Re: Órbitas satelitales

Has sido víctima del lenguaje común, que nos hace llamar tiro parabólico a las trayectorias de objetos que impactan contra el suelo sin llegar a ponerse en órbita.
...

También ha sido víctima del lenguaje común cuando distingue el caso de velocidad inicial nula como una caída libre

...
el caso 1 sin velocidad inicial tiene trayectoria en caida libre y choca con el planeta
...

cuando resulta que todas las trayectorias son "caídas libres", pues por definición caída libre es el movimiento resultante de la influencia única y exclusiva de la gravedad.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[arivasm]

Re: Órbitas satelitales

Hola arivasm, ¿porque decís que si hacemos obtendremos los extremos? yo haría solamente para hallar la órbita circular, ya que no hay velocidad en el eje radial.

La ecuación

$$\dst E=\frac{1}{2}m\dot r^2+\frac{L^2}{2mr^2}-G\frac{Mm}{r}$$

expresa la variación de la componente radial de la velocidad, $\dot r$, con la distancia al centro del planeta, $r$. En las órbitas circulares se cumple que $\dot r=0$ para todo $r$.

Más adelante veremos qué condiciones deben cumplirse, en términos de energía y momento angular, para que eso suceda.

En los demás casos (elipses, hipérbolas) $\dot r$ sólo será nula para algunos $r$: aquéllos para los que esta distancia sea máxima o mínima, esto es, los que correspondan al periastro y al apoastro (en caso de que este exista).

El desarrollo que yo proponía era el siguiente: Si hacemos $\dot r=0$ en (1) entonces tenemos una ecuación de segundo grado, $2mEr^2+2GMm^2r-2mL^2=0$, cuyas soluciones son

$$\dst r_{ext}=\frac{-GMm^2\pm\sqrt{G^2M^2m^4+2mEL^2}}{2mE}$$

Por supuesto, la ecuación anterior será tal como la hemos escrito sólo si $E\neq 0$. Por tanto, quizá lo primero sea separar ese caso del resto. Si $E=0$ la cosa se vuelve más sencilla: sólo tendremos un extremo en el valor de $r$, que se corresponderá con el periastro y se producirá a una distancia del centro del planeta

$$r_{ext}=\frac{L^2}{2GMm^2}=\frac{(L/m)^2}{2GM}$$

Por supuesto, para que sea $E=0$ la velocidad inicial deberá cumplir que (llamaré $r_0=2R$ a la distancia inicial al centro del planeta y $\alpha$ al ángulo que forman inicialmente la velocidad con el radiovector)

$\dst \frac{1}{2}mv_0^2=G\frac{Mm}{r_0}$

es decir

$v_0=\sqrt{2\frac{GM}{r_0}}$

y entonces

$(L/m)^2=(r_0v_0\sin\alpha)^2=2GMr_0\sin^2\alpha$

con lo que el periastro, de acuerdo con (3), se producirá a una distancia del planeta

$$r_{ext}=r_0\sin^2\alpha$$

Volviendo de nuevo a (2) debemos distinguir dos situaciones: que sea $E>0$ o que sea $E<0$. Por supuesto, periastro y apoastro resultarán de (2), pero también imponiendo la condición obvia de que las soluciones válidas para los mismos son aquéllas que cumplan que $r_{ext}>0$.

Así, si $E>0$, sólo tendremos una solución válida (lo que significa que en este caso tampoco hay apoastro):

$$\dst r_{ext}=\frac{\sqrt{G^2M^2m^4+2mEL^2}-GMm^2}{2mE}$$

mientras que para $E<0$ tendremos dos

$$\dst r_{ext}=\frac{GMm^2\pm\sqrt{G^2M^2m^4-2m|E|L^2}}{2m|E|}$$

Obviamente, al tomar en consideración que las órbitas keplerianas son cónicas planas (¿permite el enunciado hacer uso de esta información?) (6) implica que las órbitas serán elípticas, mientras que (3) y (5) implican órbitas parabólicas o hiperbólicas.

En este punto debemos acudir a otro tipo de consideraciones para distinguir ambos casos, aunque a la vista de (1) podemos observar un diferente comportamiento en el infinito: si $E=0$ entonces en el infinito $\dot r=0$; mientras que si $E>0$, en el infinito se cumple que $\dot r=\sqrt{2E/m}=cte$. Esto último implica una tendencia asintótica al movimiento rectilíneo uniforme, lo que evidencia que se trata de una órbita hiperbólica. Para el caso $E=0$ nos queda entonces la única posibilidad de órbita abierta sin asíntota en el infinito: parabólica.

En definitiva, lo que marcará el límite de comportamientos que indica el enunciado es, como ya sabíamos previamente, el signo de la energía: para $E<0$ tenemos órbitas elípticas, para $E=0$ parabólicas y para $E>0$ hiperbólicas. El resto es traducir este resultado a los datos que señala el enunciado.

Terminaré señalando que el caso circular es simplemente aquél particular en el que la raíz cuadrada en (6) es nula. El tratamiento es semejante al que hice antes, y es muy fácil ver que sólo es posible si [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y con $v_0=\sqrt{GM/r_0}$

[Richard R Richard]

Re: Órbitas satelitales

Visto que había para aprender

Gracias

Saludos $\mathbb R^3$