Fuerzas de rozamiento entre dos bloques apilados.

[Kiwi]

Hola a todos!

Estoy intentando resolver el siguiente problema:

Tenemos sobre una superficie plana un bloque $m_1$ que pesa 15 kg, encima del cual hay otro bloque $m_2$ que pesa 5 kg. El coeficiente de rozamiento entre todas las superficies en contacto es $\mu$. Calcular la fuerza necesaria para arrastrar, con velocidad constante, el bloque $m_1$ si la fuerza se aplica sobre $m_1$.

Mi solución:

Se pueden dar dos situaciones: que no haya deslizamiento o que sí haya deslizamiento entre los bloques.

En ambos casos el procedimiento para la resolución del problema es el mismo. La única diferencia reside en el valor utilizado para el coeficiente de rozamiento, ya que en un caso habrá que utilizar el rozamiento estático y en el otro el rozamiento cinético.
Se plantea que el valor del coeficiente de rozamiento estático sea igual al cinético, por lo que la resolución del problema es exactamente la misma en ambos casos, suponiendo que la fuerza de rozamiento estático entre los bloques sea la máxima posible y por tanto igual a la fuerza de rozamiento cinético.

Hago los diagramas de fuerzas sobre cada uno de los cuerpos y obtengo:

$m_1$:
$F_{1x}=F-F_{rbloques}-F_{rsuelo}$
$F_{1y}=F_{n1}-F_{g1}-F_{g2}$

$m_2$:
$F_{2x}=F_{rbloques}$
$F_{2y}=F_{n2}-F_{g2}$

Puesto que la velocidad ha de ser constante, la aceleración será nula en el eje horizontal y por tanto $F_{1x}=0$, por lo que:
$F=F_{rbloques}+F_{rsuelo}$
Calculamos las fuerzas de rozamiento a partir de las fuerzas normales y sustituimos en la expresión anterior:
$F=\mu F_{n2}+\mu F_{n1}=\mu F_{g2}+\mu (F_{g1}+F_{g2})=\mu (m_1+2m_2)g$

El ejercicio me lo han dado resuelto y la resolución es similar, excepto en la expresión de $F_{1x}$. En lugar de $F_{1x}=F-F_{rbloques}-F_{rsuelo}$ plantean $F_{1x}=F-F_{rsuelo}$, es decir, que la fuerza que hay que aplicar a $m_1$ es igual a la fuerza de rozamiento del bloque $m_1$ con el suelo.

¿Dónde está el fallo?


Gracias!

[Al2000]

No hay fallo, simplemente no has terminado de analizar el caso que planteas (movimiento entre los bloques). Nota que si no hay movimiento relativo entre los bloques, entonces $F_{rbloques} = 0$ y la solución es que $F = \mu (m_1 + m_2) g$, la cual sale inmediatamente si consideras desde un principio que el conjunto $m_1 + m_2$ es un único cuerpo.

Si consideras que hay movimiento relativo entre los dos bloques, entonces concluyes que la fuerza aplicada al bloque 1 además de moverlo con velocidad constante también acelera al bloque 2 con aceleración $\mu g$. Nota que este análisis es más complicado pues el sentido de la fuerza de fricción entre los bloques dependerá del sentido del movimiento relativo entre ellos.


Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Hola a tod@s.

Después de leer e interpretar el mensaje # 2 de Al2000.

1) Dibujando el DCL para la masa inferior 1, y suponiendo que haya deslizamiento entre 1 y 2,

$\sum{F_x}=m_1a_x$,

$-F_{r21}-F_{rs1}+F=m_1a_x$,

$-\mu N_{21}-\mu N_{s1}+F=m_1a_x$,

$-\mu m_2g-\mu(m_1+m_2)g+F=m_1a_x$,

$-\mu (m_1+2m_2)g+F=m_1a_x$. Si $a_x=0$,

$F=\mu (m_1+2m_2)g$.


2) Si no hay deslizamiento entre 1 y 2, $F_{r21}=0$,

$-\mu (m_1+m_2)g+F=m_1a_x$. Si $a_x=0$,

$F=\mu (m_1+m_2)g$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Kiwi]

Nota que si no hay movimiento relativo entre los bloques, entonces $F_{rbloques} = 0$

Que no haya movimiento relativo entre los dos bloques no significa que no haya rozamiento. Podría haber una fuerza de rozamiento estático.

Al margen de lo anterior, ahora estoy pensando que si no hay deslizamiento y el bloque inferior se mueve a velocidad cte (no hay aceleración), entonces no habrá rozamiento entre los bloques.
En el caso de que no hubiera deslizamiento pero sí que hubiera aceleración, se produciría una fuerza de rozamiento estático entre los bloques que lograría acelerar el bloque superior de forma solidaria al bloque inferior.

Hola a tod@s.

Después de leer e interpretar el mensaje # 2 de Al2000.

Gracias a ambos por la ayuda!


Edito:
Acabo de ver otra forma de plantearlo.

Si la velocidad del bloque inferior es cte, la velocidad del bloque superior también lo es y no se produce deslizamiento.
Si la velocidad es cte significa que no hay aceleración y, por tanto, la fuerza neta sobre ambos bloques es nula.
En el caso del bloque superior, la única fuerza horizontal que podría actuar sobre él sería la fuerza de rozamiento entre los bloques. Por tanto, esta fuerza tiene que ser nula.

En resumen, del enunciado se deduce que no hay fuerza de rozamiento entre los bloques. Por tanto el hipotético caso en el que los bloques deslizan, deja de ser una posibilidad.

[Al2000]

La posibilidad de que el bloque superior se esté moviendo sobre el inferior (que se mueve con velocidad constante) la introdujiste tu cuando empezaste a analizar el problema. Yo no creo que esa posibilidad está en el espíritu del enunciado, pero aplaudo que hayas tenido la acuciosidad de considerar el caso.

Tu última oración en tu mensaje anterior es incorrecta. Te pongo un ejemplo: supón que el bloque inferior es un vehículo como un camión de plataforma, un vagón de tren, un autobús o algo similar, conducido por un chofer suficientemente mañoso como para mantener la velocidad constante aunque la carga se mueva. Suponte ahora que se hace deslizar una caja sobre la plataforma, arrojándola (hacia delante o hacia atrás) para que deslice hasta detenerse. Entonces, mientras desliza ¿cómo queda la cosa?

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Kiwi]

Tu última oración en tu mensaje anterior es incorrecta. Te pongo un ejemplo: supón que el bloque inferior es un vehículo como un camión de plataforma, un vagón de tren, un autobús o algo similar, conducido por un chofer suficientemente mañoso como para mantener la velocidad constante aunque la carga se mueva. Suponte ahora que se hace deslizar una caja sobre la plataforma, arrojándola (hacia delante o hacia atrás) para que deslice hasta detenerse. Entonces, mientras desliza ¿cómo queda la cosa?
$\mathcal A \ell$

No acabo de entender tu ejemplo. ¿Podrías desarrollarlo un poco más?

[Richard R Richard]

Yo tampoco lo entiendo, si la caja se mueve respecto de lo que la transporta está solicitada por una unica fuerza, y al no haber otras fuerzas ,esta se aceleraría o frenaría respecto del suelo, pero si suponemos que el camión tren o lo que sea compensa esa fuerza con su propia aceleración/desaceleración, podría entonces la caja superior viajar a velocidad constante respecto el piso, pero el camión no podrá desplazarse a velocidad constante respecto del piso al mismo tiempo que la caja , por eso entonces deja de ser una opción válida para resolver el problema ya que ambos bloques se enuncia que viajan a velocidad constante .

El bloque $m_2$ solo puede acelerar o decelerar sin deslizar mientras $|a|<|\mu_e g|$

Si $F_{bloques}\leq Froz{max}=\mu_eN=\mu_em_2g$ entonces ambos bloques pueden viajar juntos sin velocidad relativa y a velocidad constante respecto del piso si se aplica una fuerza de $F_a=(m_1+m_2)g\mu_d$ sobre el bloque 1.

si se aumenta la fuerza ambos bloques aceleran solidarios hasta que se aplica una fuerza de $F_b=(m_1+m_2)a_1+(m_1+m_2)g\mu_d+m_2g\mu_e$ donde la aceleración maxima del bloque dos es de $a_2\geq\mu_e g$ porque pasado ese valor comienza a deslizar por lo que esta es la máxima aceleración que le puede imponer el bloque 1 cualquiera sea la velocidad relativa respecto del bloque.

la aceleración del bloque inferior es $a_1=\dfrac{F_b-\mu_d g(m_1+m_2)-\mu_e g m_2}{m_1+m_2}=a_2$

si se aplica mas fuerza el bloque 2 acelera con el mismo módulo y el bloque 1 acelera mas rápido cuanto mas fuerza se le aplique.