Montaña rusa y looping

[Kiwi]

Hola a tod@s!

Estoy resolviendo el siguiente ejercicio:

Supongamos una vagoneta en una montaña rusa con un looping circular de altura $h$. Justo antes de entrar en el looping, la vagoneta lleva una velocidad dada por la expresión $v_0=\frac{1}{2}\sqrt{gh}$. ¿Logrará la vagoneta dar la vuelta completa?

Y mi solución:

Hacemos el diagrama de fuerzas. En él tomamos como eje $y$ la vertical y sentido positivo hacia arriba. Las dos únicas fuerzas que actúan sobre la vagoneta son la gravedad y la normal, ambas apuntando en sentido negativo de $y$.
La condición para que la vagoneta haga el looping es que, en el punto más alto, la fuerza normal sea nula o de sentido negativo (según nuestros ejes). Es decir que la fuerza normal no puede apuntar hacia arriba Ya que no tendría sentido.
$\Sigma \bar{F}=\bar{F}_n+\bar{F}_g=m\bar{a}$
Teniendo en cuenta que el sentido positivo del eje $y$ apunta hacia arriba, y que [tex]a=\frac{v_0^2}{h/2} tenemos:
$-F_n-F_g=-m\frac{v_0^2}{h/2}$
Cancelando los signos, sustituyendo la velocidad, expresando la fuerza de la gravedad como $mg$, reordenando y simplificando:
$F_n=\frac{1}{2}mg-mg$
$F_n=-\frac{1}{2}mg$
Puesto que la fuerza normal apunta en sentido negativo, es decir, hacia abajo, la vagoneta hará la vuelta completa sin caerse.

¿Es correcta mi solución?

Este ejercicio está resuelto en un libro y el resultado es el mismo, pero dicen que la vagoneta se cae puesto que la normal tiene valor negativo.




Gracias!

[Al2000]

Cuando pones que la fuerza normal es $- F_n$ estás implicando que $F_n$ es un valor positivo, pues estás incluyendo el signo explícitamente. La matemática luego te contradice y te advierte que ¡Hey, la normal va en sentido opuesto! Es decir, tu resultado negativo quiere decir que la normal apunta hacia arriba.

Este es un error de novato (y a veces no tan novatos) bastante común. Para hacer las cuentas como pareces desear hacer, debiste haber dicho que

$$\vec F_n + \vec F_g = m \vec a$$

Sustituir los vectores por su expresión como componente x versor:

$$F_n \, \hat y+ F_g \, \hat y= m \vec a$$

reconocer que la única solución posible es que $\vec a$ apunte a lo largo del eje Y

$$F_n \, \hat y+ F_g \, \hat y= m a \hat y$$

trabajar ahora solo con las componentes de los vectores

$$F_n - m g = - m \frac {v_0^2}{h/2}$$

en donde la inclusión explícita de los signos de las componentes del peso y la aceleración centrípeta se justifica pues ambos sentidos son conocidos y los valores de $g$ y $v_0^2/h$ son positivos y no pueden cambiar. $F_n$ queda como valor a determinar, su signo incluido. Al despejar $F_n$ y sustituir $v_0$ finalmente obtendrás que

$$F_n = \frac 1 2 m g$$

y este resultado te dirá que la normal apunta hacia arriba (la componente en tu eje Y es positiva).

Todo ese detalle en el desarrollo uno normalmente lo omite. La enseñanza que debes sacar es que no te anticipes al resultado que esperas obtener y permite que la matemática te indique cual es el resultado real, sea o no el que tu esperas.

Un comentario final... es posible que la normal sea positiva es esta caso. Estoy seguro de que las ruedas de un carrito de montaña rusa abrazan el riel, de manera que podrían sostenerlo colgando

Una pregunta adicional como ejercicio... Si la vagoneta solamente se apoya en los rieles, ciertamente no podrá superar el bucle, pero ¿dónde se despega y empieza a caer? >

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Kiwi]

Cuando pones que la fuerza normal es $- F_n$ estás implicando que $F_n$ es un valor positivo, pues estás incluyendo el signo explícitamente. La matemática luego te contradice y te advierte que ¡Hey, la normal va en sentido opuesto! Es decir, tu resultado negativo quiere decir que la normal apunta hacia arriba.

En realidad lo que he hecho es suponer que la normal apunta hacia abajo. Esto lo he hecho porque no puede apuntar hacia arriba. Y ahora caigo en que si el resultado me sale con signo negativo es porque mi suposición era errónea y la normal apunta hacia arriba.

Siguiendo tu consejo, siempre debería suponer que todos los vectores apuntan en el sentido positivo de cada eje. Entonces el diagrama de fuerzas dejaría de ser de utilidad porque todas las componentes sobre un eje tendrían la misma dirección y sentido.

Este es un error de novato (y a veces no tan novatos) bastante común.

¡Ojalá fuera un novato!
Estoy volviendo a repasar mis apuntes de la carrera y recuerdo menos de lo que pensaba...

trabajar ahora solo con las componentes de los vectores

$$F_n - m g = - m \frac {v_0^2}{h/2}$$

en donde la inclusión explícita de los signos de las componentes del peso y la aceleración centrípeta se justifica pues ambos sentidos son conocidos y los valores de $g$ y $v_0^2/h$ son positivos y no pueden cambiar. $F_n$ queda como valor a determinar, su signo incluido.

Esto lo entiendo. Pero vuelvo a plantear mi duda del diagrama de fuerzas.

La enseñanza que debes sacar es que no te anticipes al resultado que esperas obtener y permite que la matemática te indique cual es el resultado real, sea o no el que tu esperas.

Tanto si hacemos el ejercicio según tu criterio como si lo hacemos según el mío, estamos suponiendo una dirección y sentido para la normal. En tu caso supones que la normal apunta hacia arriba y en el mío supongo que apunta hacia abajo. En ambos casos el signo del resultado final nos dice si nuestra suposición era acertada o no: si el resultado tiene valor postivo la suposición era acertada y si sale con valor negativo la suposición era incorrecta y el vector apunta en sentido opuesto al supuesto.

Un comentario final... es posible que la normal sea positiva es esta caso. Estoy seguro de que las ruedas de un carrito de montaña rusa abrazan el riel, de manera que podrían sostenerlo colgando

El enunciado original comentan que no hay rieles (lo que sí hay es suicidas dentro de la vagoneta jajajajaja!).
Entiendo que el resultado con la normal apuntando hacia arriba nos dice qué fuerza mínima sería necesaria aplicar sobre la vagoneta para que ésta no se caiga si va a esa velocidad. La forma de conseguir esa fuerza ya es otro tema...

Una pregunta adicional como ejercicio... Si la vagoneta solamente se apoya en los rieles, ciertamente no podrá superar el bucle, pero ¿dónde se despega y empieza a caer? >`

La vagoneta se caería en el momento en que, en el eje vertical, $F_g>F_n+m\frac{v_0^2}{h/2}$



¡Pero cuánto se aprende en este foro!