1r ciclo Potencia para elevar un helicóptero

[franco_c2]

Supóngase que las hélices de un helicóptero empujan verticalmente hacia abajo la columna cilíndrica de aire que barren al girar. La masa total del helicóptero es de 1820 kg y la longitud de las hélices es de 4.88 m. Halle la potencia mínima necesaria para mantener al helicóptero en el aire. La densidad del aire es de 1.23 kg/m^3.

Entiendo que la fuerza que ejercen las hélices al aire hacia abajo debe ser igual al peso del helicóptero. Entonces:

$\dst F=Mg=\frac {dp}{dt}=\frac {dm}{dt} v$

donde $M$, $\frac {dm}{dt}$ y $v$ son la masa del helicóptero, el flujo de la masa de aire y la velocidad del mismo respectivamente.

Luego $\dst \frac {dm}{dt}=A \delta v$

Despejando $v$ y reemplazando en $P=F v$ me da

$\dst P=\frac {1}{\sqrt {A \delta}} {\left( M g \right)}^{\frac {3}{2} }$

Tomando la "longitud de las hélices" como diámetro de la circunferencia, la potencia me da 497 kW, pero el resultado del libro dice que es 124 kW. Si tomo la longitud de las hélices como el radio tampoco da. ¿Qué estoy haciendo mal?

[JCB]

Hola a tod@s.

Aunque es un cálculo muy aproximado, partiendo de lo que tú escribes, franco_c2, el impulso que se comunica a la masa de aire, es igual a su variación de cantidad de movimiento,

$Ft=mv_2-mv_1=mv_2$, habiendo considerado que la velocidad de la masa de aire antes de “entrar” en las hélices es nula ($v_1=0$). Llamando $v$ a $v_2$ y despejando $F$,

$F=\dfrac{m}{t}v=\rho Qv=\rho vSv=\rho Sv^2$. Igualando con el peso del helicóptero,

$mg=\rho Sv^2$,

$v=\sqrt{\dfrac{mg}{\rho S}}=27,84\ m/s$.

Finalmente, $P=Fv=\rho Sv^3=496,63\ kW$.

Nota: he considerado que el diámetro de las hélices es $4,88\ m$. Como decía es un cálculo muy aproximado por todas las suposiciones, $v_1=0$ y $\rho=cte$.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

- La primera vez que leí tu enunciado, franco_c2, interpreté incorrectamente que la respuesta correcta era $497\ kW$.

- No obstante, y recapitulando, si toda la energía que suministra el helicóptero, se convierte en energía cinética del caudal másico de aire, la potencia del helicóptero no es la que he obtenido anteriormente.

Recordando que el caudal másico es $\dot{m}=\rho Q=\rho vS=(1,23\cdot 27,84\cdot 18,70)\ kg/s=640,57\ kg/s$,

$P=\dfrac{E_c}{t}=\dfrac{1}{2}\dot{m}v^2=248.312,67\ W=248,31\ kW$, que tampoco coincide con la respuesta del libro, y que es la presumiblemente correcta.

- Para que el valor de la potencia coincida con la del libro, debo suponer un diámetro de las hélices igual a $D=4,88\cdot 2\ m=9,76\ m$. De esta forma,

$\dot{m}=\rho Q=\rho vS=(1,23\cdot 13,92\cdot 74,82)\ kg/s=1.281,14\ kg/s$,

$P=\dfrac{E_c}{t}=\dfrac{1}{2}\dot{m}v^2=124.156,34\ W=124,16\ kW$, y esta sí que coincide con la potencia indicada en el libro.

Saludos cordiales,
JCB.