1r ciclo Tensiones en un muelle

[Alofre]

Hola, estaba leyendo sobre propagaciones de ondas en una dimensión y el ejemplo que traen mis apuntes es el de un muelle. El caso es que al principio realizan un estudio de como afecta la tensión a la variación de la posición de las partículas del muelle respecto al equilibrio, y la verdad es que hay unos cuantos conceptos que no me han quedado claros. Agradecería que alguien me ayudase a esclarecerlos un poco :-).

1. En primer lugar el libro presenta un muelle que es sometido a una tensión T por ambos extremos y se deforma homogéneamente, aumentando $\Delta L$ de longitud en total. Vale, aquí yo diría que la relación entre $\Delta L$ y T es $T=k \Delta L$. Ahora bien, en mis apuntes pone, sin embargo, que es: $T= \frac{\alpha}{L} \Delta L$ , donde $\alpha$ es una constante que solo depende del muelle. Entonces yo entiendo que $k=\frac{\alpha}{L}$, lo que significaría que para un trozo del muelle k sería mayor. ¿Es correcta mi hipótesis?.

2. Por otro lado, he visto que hay una función $q(x)$ que asocia a cada pedazo de muelle la distancia a la que se haya de su posición de equilibrio. Si el muelle se estira homogéneamente yo entiendo en principio que cada pedazo de muelle se mueve una misma distancia, luego esta función es constante. No obstante en mis apuntes pone que el resultado es una recta que pasa por el origen (nota: en este caso un extremo se mantiene fijo). Eso significa que un pedazo de muelle se estirará más o menos en función de su posición?
(Nota: el muelle tiene densidad lineal constante).

Muchas gracias!

[Richard R Richard]

Hola , supón que tienes un muelle que te lo venden por metro, todo el resorte tiene las mismas propiedades centimetro a centimetro, si cortas $L$ centimetros y lo estiras $\Delta L$ la tensión que debes aplicar es $T=\alpha \dfrac{\Delta L}{L}$

de modo que si cortas uno de $2 L$ y lo estiras la misma distancia $\Delta L$ la tensión que aplicas es la mitad...

pero como en todo problema ya el muelle tiene una longitud inicial ideal, a los fines prácticos nos sirve que $T=\dfrac{\alpha}{L}\Delta L=K\Delta L$ donde K depende de la longitud a la que se corta el resorte y que nunca es dato en los problemas.

Para el segundo punto me gustaría leer de donde tu estas leyendo para ver que es ese $q(x)$ y estar mas seguro.

Pero si te fijas si en un resorte haces 3 marcas , la primera en un extremo que dejas fijo, y luego dos marcas un tercio y otra a mitad del resorte contando desde ese extremo.
si estiras o comprimes desde el otro extremo libre, lo que se mueve la marca de un tercio es menor que lo que se mueve la marca de un medio, luego si graficas q(x ) representa cuando varían las marcas en función de la distancia al extremo fijo, veras que es una recta que pasa por el origen.

Eso se debe a que cada espira del resorte tiene las misma propiedades que las que le siguen.

Si el resorte tiene 100 espiras y lo estiras 100 cm cada espira se estira 1 cm, por lo que la segunda espira se moverá lo que ella se estire mas lo que se estiró la primera es decir 2 cm, la tercera se estira hasta 3 cm y así hasta que las 100 se estiren 100 cm, luego la espira más alejada se movió mucho más respecto del punto fijo que la primer espira y eso es lo que representa la recta de q(x).

[Alofre]

Hola Richard R Richard, muchas gracias por tu respuesta, me ha sido muy útil. Esto lo he sacado de los apuntes de clase de Física General II (que supongo que habrán salido de algún libro pero la verdad no sé de cual) pero creo que te refieres a lo mismo, a esas "marcas" que en la posición de equilibrio verifican que q(x)=0.
Muchas gracias de nuevo!

[JCB]

Hola a tod@s.

He estado pensando en este tema. No me había parado nunca a pensar que la constante elástica $k$ del muelle, dependiese de su longitud. Después de darle unas vueltas, llego al mismo resultado que Richard. Para ello, considero en primer lugar un muelle de longitud $L$, con una constante $k$. Si aplico una fuerza de tensión $F$, el desplazamiento será $\Delta x=\dfrac{F}{k}$ (1).

Ahora, en lugar de considerar un muelle de longitud $2L$, considero dos muelles iguales al caso anterior (longitud $L$ y constante $k$), puestos en serie. Se trata de hallar la fuerza de tensión $F’$ a aplicar, que consiga el mismo desplazamiento que en el primer caso (un único muelle).

Aplicando esta fuerza $F’$, el desplazamiento total de los muelles dispuestos en serie, será

$\Delta x_1+\Delta x_2=\dfrac{F’}{k}+\dfrac{F’}{k}=2\dfrac{F’}{k}$ (2).

Igualando el desplazamiento (1) con el desplazamiento (2),

$\dfrac{F}{k}=2\dfrac{F’}{k}$. Luego, $F’=\dfrac{F}{2}$.

Saludos cordiales,
JCB.