teorema trabajo-energia

[carlosrodriguez]

Un péndulo de largo L y masa m se suelta desde el reposo cuando está
formando un ángulo de 45º con la vertical.
a) Determinar la velocidad de la masa cuando pasa por la vertical.
lo que no me queda claro del teorema del trabajo y energia es como darme cuenta cuando la energía se conserva ,en este caso la variación de la energía es igual al trabajo del peso o se conserva?

[Richard R Richard]

El trabajo de fuerzas conservativas en una trayectoria cerrada, es decir al volera la misma posición es nulo. El rozamiento no cumple con esto.
Las fuerzas que dependen de la posición por lo general son conservativas, El potencial gravitatorio, depende de la altura o posición, la energía potencial elástica también, sus fuerzas realizan trabajo nulo en ciclos cerrados.
En ausencia de fuerzas externas el trabajo de estas fuerzas es igual y contrario a la variación de energía cinetica. Por eso si sumas energía cinetica y los potenciales de las fuerzas conservativas en un punto y los comparas con otro punto , veras que el valor es una constante, por ello se dice que la energía mecánica se conserva. Ahora bien cuando hay fuerzas no conservativas. entonces la variación de la energía mecánica es igual y de signo contrario al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.

en el caso del problema

La energía potencial, tomando como altura cero el punto mas bajo de la trayectoria

$E_{pi}=mg(L-L\cos45)$

la energía cinetica inicial es nula pues la velocidad inicial es nula $E_{ci}=0$

$E_{mi}=E_{pi}+E_{ci}$

La energía potencial final es nula pues la altura final es nula

$E_{pf}=0$

la energia cinetica final es $E_{cf}=\dfrac12mv_f^2$

$E_{mf}=E_{pf}+E_{cf}$

si

$\Delta Ep=E_{pf}+E_{pi}$

$\Delta Ec=E_{cf}+E_{ci}$

$\Delta Em=\Delta Ep+\Delta Ec=0=W_{peso}+\Delta Ec$

$W_{peso}=\dst \int_h^0 mg dh=-mg(L-L\cos45)$


$v=\sqrt{\dfrac{2mg(L-L\cos45)}{m}}=\sqrt{2g(L-L\cos45)}$

[JCB]

Richard: el trabajo del peso es igual a la variación de la energía potencial gravitatoria, pero con el signo cambiado. Por tanto, el trabajo que has calculado, debería tener signo positivo. Otra cosa: en la última expresión, sobra la “m”.

[Richard R Richard]

Hola quite la m de sobra, pero lo del signo no lo veo todavía. si en la parte inferior la energía cinética es positiva, el trabajo gravitatorio debe ser negativo para que sumados dejen en cero a la variación de la energía mecánica.

[JCB]

Hola a tod@s.

Aunque es algo más rebuscado, también se puede hallar el trabajo del peso, de la siguiente manera:

La componente del peso que ejerce trabajo es $F=mg\sin\theta$.

$W=\dst\int_{1}^{2}\vec{F}\vec{dr}=\dst\int_{1}^{2}Fdr=\dst\int_{0^{\circ}}^{45^{\circ}}mg\sin\theta Ld\theta=mgL\int_{0^{\circ}}^{45^{\circ}}\sin\theta d\theta$.

$W=mgL\Big[-\cos\theta\Big]_{0^{\circ}}^{45^{\circ}}=mgL\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

Otra forma de calcular el trabajo del peso:

$W=\dst\int_{r_1}^{r_2}\vec{F}\vec{dr}=\dst\int_{r_1}^{r_2}-mg\vec{j}(dx\vec{i}+dy\vec{j}+dz\vec{k})=-mg\dst\int_{y_1}^{y_2}dy=-mg(y_2-y_1)$.

Como $y_2<y_1$, $W>0$.

Y esto coincide con lo que he escrito en el comentario, $W=-\Delta E_{pg}$.

Por otra parte, y como dice el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo total de las fuerzas que se ejercen sobre un punto material, es igual al incremento de su energía cinética. Yo lo veo todo coherente.

Saludos cordiales,
JCB.