1r ciclo La gota

[arivasm]

Como últimamente tenemos el foro un tanto parado y me temo que muchos de nosotros estamos encerrados, aunque seguramente nos pase que hemos descubierto que teletrabajar significa dedicar mucho más tiempo, quizá un bonito problema nos ayude a escapar a ese precioso recreo que es la Física.

El problema que os traigo formó parte de la fase española de la Olimpiada de Física de 2019 y lo han titulado "la gota", porque estudia el movimiento de una gota en formación en una nube.

No solo es un problema divertido, sino que además creo que su solución, que aparece al final del documento, tiene un error. Claro que también es posible que me esté columpiando demasiado y que el erróneo sea yo.

Permitidme que me reserve cuál es el supuesto gazapo, para que así tengamos más diversión.


Quiero aprovechar para saludar a todos los amigos del foro. Perdonadme el offtopic: Quizá estéis pasando un mal rato por culpa del dichoso coronavirus; yo procuro pensar que podría ser una oportunidad para que la humanidad descubra la importancia de la cooperación. En esta no-distopía que nos ha tocado vivir ha llegado el extraterrestre que podría unificarnos.

Un abrazo muy grande y que esa gota minúscula en una nube os llene de pequeña felicidad.

[JCB]

Hola a tod@s.

Interesantísimo ejercicio, arivasm.

Por cierto, estoy confinado en casa y con un ataque de gota, aunque no de agua, sino de ácido úrico.

Sin haber entrado, todavía, en los apartados siguientes, el primer apartado a), lo veo correcto, pues si calculamos el nº de Reynolds, $Re=\dfrac{\rho_{aire}vD}{\eta}=211$. Indica que estamos en un régimen laminar ($Re\leq2.000$), y es de aplicación la ley de Stokes.

El peso de la gota de agua es $P=\rho_{agua}Vg=5,13\cdot 10^{-6}\ N$.

La fuerza de resistencia da $F_{\eta}=6\pi r\eta v=5,17\cdot 10^{-7}\ N$.

Es decir, el peso es unas 10 veces superior a la fuerza de Stokes, pudiendo llegar a considerarse despreciable esta última.

Seguiré con los siguientes apartados.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Voy por el apartado b)

la velocidad limite se alcanza cuando la fuerza de fricción es igual al peso de la gota

$F_{\eta}=6\pi r\eta v=\rho_{agua}Vg=P$

$v=\dfrac{\rho_{agua}Vg}{6\pi r\eta}=\dfrac{1000kg(m^3\cdot \frac 43(0.0005m)^3\cdot 9.81 m/s^2}{6\cdot 0.0005m \notcien{1.83}{-5}Pa.s}=29.87m/s$

el punto c)

La variación de momento Lineal es $\Delta P=P_f-P_i=(m+\Delta m)(v+\Delta v)-(m v)=\cancel{mv}+v\Delta m+m\Delta v+\overbrace{\Delta v\Delta m}^{=0}-\cancel{mv}$

luego $F=\dfrac{dP}{dt}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta P}{\Delta t}=mg= v\dfrac{d m}{dt}+m\dfrac{d v}{dt}$

$mg=v\dfrac{d m}{dt}+ma$

entonces

$a=g-\dfrac{v}{m}\dfrac{d m}{dt}$ cqd

Particularmente no me gusta usar en el desarrollo a $\Delta v$ como positiva en un choque inelástico, ya que la velocidad luego del choque es inferior a la inicial luego el cambio de velocidad resulta de valor negativo en ese sistema de referencia.

Los siguiente d son cambios de unidades.... poner una variable en función de otra....

e ) no se bien el alcance, pero la aceleración entiendo existe mientras se haya un nuevo equilibrio entre fricción y peso, ya que si la ley de Stokes se cumple a medida que hay más masa hay mas fricción, cuando se alcanza un equilibrio y desciende a velocidad constante hasta un nuevo impacto y donde hay crecimiento de masa y radio de la gota , y a partir de este desequilibrio se haya uno nuevo a partir la ley se Stokes.

Para f) no sabemos la masa, pero sabemos que la velocidad depende de la variación de la masa, y esta del radio, y del radio la fricción y la aceleración, luego se puede plantear una ED para calcular la masa en función de $h$ o bien $\Delta h$, también se puede hallar la velocidad en ese punto, y con estos datos la energía cinética.....

Para este momento me avivo que debajo del enunciado esta la solución en el mismo pdf.... veré si le hallo algún gazapo.

....mmm aplicar cinemática newtoniana común a un sistema de masa variable la ecuación 13... Me hace ruido... por lo que expuse en el punto e) si bien dicen que es un proceso continuo... la ecuación de la cinemática requiere de aceleración constante y de hecho este problema siempre la aceleración tiende asintóticamente a 0.

En el punto h el calor también va al aire, no solo a la gota, y en el tiempo que cae el aire evapora parte de la superficie, las temperatura del aire en contacto influye y el calor latente de evaporación la enfría, por eso la lluvia es "fría" no caliente ya que cuanto de mayor altura cae mayor temperatura alcanzaría según el criterio del problema.
Por otro lado parece que las corrientes ascendentes de aire no son tenidas en cuenta, y que el granizo no se puede explicar con este proceso... entiendo que esto es lo que pide el punto h

[arivasm]

Veo que tienes prisa, Richard. Saboréalo con calma... Saludos!
PD: No comento nada porque, por ahora no tengo mucho que decir ;-)

[Richard R Richard]

se viene el fin de semana encerrado... veremos que jugo se le saca...

[JCB]

Hola a tod@s.

En el apartado b), el nº de Reynolds, para la velocidad terminal hallada de 30 m/s (29,75 m/s según mis cálculos), me da $Re=2.097$, algo por encima del nº de Reynolds crítico inferior. Entiendo que para $Re>2.000$ no se puede asegurar que nos encontremos en régimen laminar, y por tanto ya no sería de aplicación la ley de Stokes, pero bueno, es una pequeña licencia del autor del ejercicio.

Seguiré con los siguientes apartados, a ver si encuentro el supuesto gazapo que mencionaba arivasm.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Mmm veamos que se me ocurre ,

la cantidad de gotitas impactadas por la gota es en realidad..

llamando $r_0$ al tamaño de las gotitas

$r_0 =\sqrt[3]{\dfrac{3\Delta m}{4\pi\rho}}$

entonces la variación de la masa de la gota por unidad de tiempo es

$\dfrac{dm}{dt}=\rho_n\pi v (r_g+r_0)^2$

lo extraño es que la densidad de la nube $\rho_n$ de 1 a 3 g/m^3 no es dato del enunciado(supongo que los alumnos se lo saben de memoria?)

este cálculo tiquismiquis se debe a que sumo toda gota que es tocada por los bordes de la gota mayor y no solo por el cilindro que la contiene.

ya de ahí no llego a la mismísima expresión sino una similar teniendo en cuenta el término adicional.

Pero recapitulemos... el punto c es inexacto o erróneo, ya que hemos despreciado el rozamiento, luego hacemos unos pases mágicos y la gota desciende con aceleración constante, donde es claro, que si no se desprecia rozamiento la aceleración tiende a nula y la velocidad tiende a constante, ambas exponencialmente, o bien con otra función, pero la aceleración no es constante..

Y discrepo totalmente con el cálculo de la energía cinetica .ya que debe evaluarse el trabajo de la fuerza de gravedad, restarle el trabajo del rozamiento y lo que queda es la variación de la energía cinetica. como la masa es función de la velocidad no puede hacerse como un simple ejercicio de potencias sino, con la resolución de la integral.

$\dst \int F dx=\int m v dv$

y no podemos irnos por la linealidad de la aceleración, cuando esta depende de la velocidad.

Me he cerrado en ello y no pude avanzar mas.

[arivasm]

Comenzaré aclarando que "mi" (supuesto) gazapo estaría más adelante.

llamando $r_0$ al tamaño de las gotitas

$r_0 =\sqrt[3]{\dfrac{3\Delta m}{4\pi\rho}}$

entonces la variación de la masa de la gota por unidad de tiempo es

$\dfrac{dm}{dt}=\rho_n\pi v (r_g+r_0)^2$

La verdad es que no entiendo cómo deduces esto.

lo extraño es que la densidad de la nube $\rho_n$ de 1 a 3 g/m^3 no es dato del enunciado(supongo que los alumnos se lo saben de memoria?)

Desde luego que no lo saben.

este cálculo tiquismiquis se debe a que sumo toda gota que es tocada por los bordes de la gota mayor y no solo por el cilindro que la contiene.

Entiendo que, en el problema, la nube está formada por microgotas, de radio despreciable frente al de la gota en formación.

Pero recapitulemos... el punto c es inexacto o erróneo, ya que hemos despreciado el rozamiento, luego hacemos unos pases mágicos y la gota desciende con aceleración constante, donde es claro, que si no se desprecia rozamiento la aceleración tiende a nula y la velocidad tiende a constante, ambas exponencialmente, o bien con otra función, pero la aceleración no es constante..ha

Pero hay una parte de la aceleración que procede del frenado causado por los choques con las microgotitas. De algún modo, en el modelo simple que propone el enunciado dicho término es constante.

Y discrepo totalmente con el cálculo de la energía cinetica .ya que debe evaluarse el trabajo de la fuerza de gravedad, restarle el trabajo del rozamiento y lo que queda es la variación de la energía cinetica. como la masa es función de la velocidad no puede hacerse como un simple ejercicio de potencias sino, con la resolución de la integral.

De nuevo aquí al aceptar la condición del ejercicio, de manera que la aceleración sea constante, no hay duda de que la energía cinética será $\frac{1}{2}m(h) v(h)^2=m(h) a h$

[Richard R Richard]

La verdad es que no entiendo cómo deduces esto.

Lo que hice fue calcular el radio de una microgota, que no es tan "micro", tiene el 10% del radio de una gota $100\mu m$ es el la décima parte de 1 mm. es decir con mil microgotas hago una gota... al radio de la microgota se lo sumo al de la gota,para hallar el volumen que impacta con la gota, pues la gota chocara a las microgotas si la distancia radial es menor a $r_g+r_0$... donde $r_0$ es el radio de la microgota por eso no veo que sea tan despreciable el radio de la microgota respecto del de la gota. Porque solo cuando la gota tenga mas de 1mm será el radio 10 veces mayor, pero cuando crece no lo es en tanta proporcion, ... esto es valido si solo hasta el 3% del espacio está ocupado por microgotas, por eso usamos $\rho_n$ y no la densidad del agua.

Desde luego que no lo saben.

Entonces como hacen, se prevé que el participante estime el dato????....

Entiendo que, en el problema, la nube está formada por microgotas, de radio despreciable frente al de la gota en formación.

ya viste que no es tan despreciable, es solo la décima parte. Lo mismo a mi entender es que no habría que dejar de lado la fricción para calcular la aceleración...

Pero hay una parte de la aceleración que procede del frenado causado por los choques con las microgotitas. De algún modo, en el modelo simple que propone el enunciado dicho término es constante.

Si si, ya veo, pero deliberadamente estoy buscandole una quinta pata al gato, buscando de alejarme de esa lógica, no tan simple claro.

De nuevo aquí al aceptar la condición del ejercicio, de manera que la aceleración sea constante, no hay duda de que la energía cinética será $\frac{1}{2}m(h) v(h)^2=m(h) a h$

Desde luego sea cualfuere la aceleración, si es constante, entonces las ecuaciones de la cinemática Newtoniana MUA son validas, lo que veo es que no es un ajuste muy perfecto a esa condición.


Bueno espero, con ansías donde ves tu el gazapo, ya que interpreto no he dado en el clavo.

[arivasm]

La verdad es que yo no he hilado tan fino. Mi "fallo" es más de bulto(y está más adelante). Pero agradezco que abras esta línea para pensar, más aún en estos tiempos... Un saludo!

[Richard R Richard]

En cuarentena , el suspenso se me vuelve eternidad