Efectos de rotación sobre masa oscilante en un tubo

[Daniella Ratt]

Buenas, me encuentro con un problema para resolver el siguiente ejercicio y apreciaría bastante en que me guiaran en cómo hacerlo ya que estuve intentando siquiera empezarlo y no he podido.
El enunciado dice:

Una partícula de masa m se mueve sin roce con un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia angular γ en un tubo recto y de masa despreciable. Como se muestra en la figura 2, el tubo está orientado de Oeste a Este, sobre un punto de la superficie terrestre de latitud (ángulo de elevación c/r al plano ecuatorial) λ. Despreciando los términos cuadráticos en la velocidad angular terrestre y la variación temporal de ésta, calcule la fuerza de reacción entre el tubo y la masa m, si en t = 0 parte con amplitud +A.


La masa m al interior del tubo describe, con respecto a un observador en el centro del tubo y fijo a la superficie Terrestre, un movimiento armónico simple de frecuencia angular γ y amplitud A.

De antemano gracias, saludos cordiales.

[JCB]

Hola a tod@s.

El desplazamiento de la partícula que sigue un m.a.s., puede escribirse $x=A\sin(\omega t+\theta_0)$. Si para $t=0$, $x=A$,

$A=A\sin(0+\theta_0) \longrightarrow \theta_0=\dfrac{\pi}{2}$. Luego, $x=A\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)$ y $v=A\omega\cos\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)$.

1) Movimiento de la partícula de Oeste a Este.

La aceleración de la gravedad tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la Tierra.

En este movimiento, la aceleración de Coriolis tiene la dirección en un eje paralelo al ecuador y sentido hacia la Tierra.

$a_{Coriolis}=2\Omega v$.

La aceleración centrífuga tiene la misma dirección que la de Coriolis, pero en este caso va hacia el exterior.

$a_c=\Omega^2r=\Omega^2R\cos\lambda$.

Equilibrio en el eje paralelo al ecuador:

$-mg\cos\lambda-2m\Omega v+m\Omega^2R\cos\lambda+R_x=0$.

Equilibrio en el eje vertical, perpendicular al anterior:

$-mg\sin\lambda+R_y=0$.

2) Movimiento de la partícula de Este a Oeste.

Te lo dejo para ti.

Saludos cordiales,
JCB.

[MrHawk123]

Hola JCB, ¿el angulo no deberia ser pi/2?.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Adjunto croquis.



Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a tod@s.

El desplazamiento de la partícula que sigue un m.a.s., puede escribirse $x=A\sin(\omega t+\theta_0)$. Si para $t=0$, $x=A$,

$A=A\sin(0+\theta_0) \longrightarrow \theta_0=0$. Luego, $x=A\sin(\omega t)$ y $v=A\omega\cos(\omega t)$.

Yo revisaría eso , para partir de amplitud máxima el desfase inicial es $\pm\pi/2$ si usas la función seno, y es 0 si usas el coseno.

1) Movimiento de la partícula de Oeste a Este.

2) Movimiento de la partícula de Este a Oeste.

Ojo si $\lambda =0$ solo tienes el efecto Eotvos, que es cuando se da coriolis en ascenso o descenso. cuando va a hacia el este tiende a ascender , y virar hacia el sur

y tiende a descender y vira al sur cuando va hacia el oeste cuando $\lambda >0$



Soy muy propenso a equivocarme en lo planteo con sistemas no inerciales, por eso prefiero mantenerme al margen de proponer alguna fórmula, .

[JCB]

Hola a tod@s.

- Cierto Richard, las expresiones del m.a.s. contenían un error, que ya he corregido. Incluso MrHawk123 me advirtió, pero pensé que se refería al ángulo de latitud, por ese motivo subí el croquis.

- En cuanto a tu segundo comentario, entiendo que el ejercicio es para sacar algún resultado en la situación presentada en el dibujo del enunciado. Es decir, el tubo se encuentra quieto sobre la superficie terrestre (no tiene velocidad relativa respecto de la Tierra), y lo que se mueve de manera armónica simple es la partícula que se encuentra dentro del tubo. Por tanto, la situación está completamente definida con una latitud $\lambda$ constante como muestra el dibujo.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola, hay dos situaciones diferentes a la hora de hacer un análisis de fuerzas ficticias sobre la partícula,

una si la partícula esta estática respecto al sistema de referencia no inercial, y otra si se mueve con velocidad relativa respecto a ese sistema de referencia.

yo siempre me inclinaria a resolver este problema utilizando un sistema de referencia inercial ya que el enunciado , solo pide calcular la reacción, particula- tubo.

si hacemos el DCL de la partícula las fuerzas que detectamos son

	SRNI		SRI
	Estatico	En movimiento	Estatico	En Movimiento
Muelle	$KA$	$KA$	$KA$	$KA$
Peso	$mg$	$mg$	$mg$	$mg$
Centripeta/centifuga	$m\omega^2r$	$m\omega^2r$	$-m\omega^2r$	$-m\omega^2r$
Coriolis	0	$m\omega\dfrac{\partial R\cos\beta\sin(\pi/2-\lambda)-r)}{\partial t}$	0	0
Eotvos	0	$m\omega r\dfrac{\partial \beta -\theta}{\partial t}\neq m\omega^2 r$	0	0

lo que queda es calcular la proyección de cada fuerza, sobre los laterales del tubo.

el muelle no proyecta mientras esta estático, coriolis como eotvos existen si la partícula esta en movimiento relativo con la superficie de de la esfera.

Este problema tiene solución aplicando lagrangianos, y resolviendo para obtener las ecuaciones de movimiento

Ojo que R no es el radio de la esfera, sino la distancia entre el centro de la esfera y la particula.

$R_{(t)}=\sqrt{R_{esf}^2+A^2_(t)}$