aceleración en el movimiento curvilíneo

[Publio]

Hola, soy nuevo en el foro y necesitaría plantear una duda de tipo teórico. No entiendo por qué el vector aceleración instantánea $\vec{a}$ en el movimiento curvilíneo puede tener distintas direcciones a lo largo de la trayectoria. Sin embargo, en el $\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}$, el vector $\Delta \vec v$, y con él el vector $\vec{a}$ me dan la impresión de que siempre deberían ser perpendiculares al vector velocidad $\vec v$. Algún error de concepto debo tener. Muchas gracias a todos por anticipado.

[Trisko]

Si se considera una partícula en movimiento curvilíneo, es decir, donde tanto su posición como dirección cambian. Sabiendo que la posición de un cuerpo está representada por su vector $\vec{r}$, y que éste se puede separar en módulo y vector unitario tal que $\vec{r}=r\vec{u}$ tendríamos que:
$\vec{v}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}=\dfrac{d\left(r\vec{u}\right)}{dt}=\dfrac{dr}{dt}\vec{u}+r\dfrac{d\vec{u}}{dt}$
Dónde las derivadas por supuesto representan los límites, que no he usado por comodidad. Además hemos tenido en cuenta que la derivada de un producto es la derivada del primero por el segundo sin derivar más la derivada del segundo por el primero sin derivar. Ahora aplicando el mismo procedimiento la aceleración sería:
$\vec{a}=\dfrac{d^{2}r}{dt^{2}}\vec{u}+2\dfrac{dr}{dt}\dfrac{d\vec{u}}{dt}+r\dfrac{d^{2}\vec{u}}{dt^{2}}$
En estas dos expresiones se puede ver que tanto aceleración como velocidad tienen componentes que van en la dirección del vector de posición como en dirección perpendicular (aquellos con el término $\dfrac{d\vec{u}}{dt}$). Por tanto esas "ambas direcciones" realmente son una descomposición de los vectores en las dos direcciones dichas anteriormente, y se simplificaran en caso de que el módulo del vector de posición o su dirección no dependan del tiempo.

[Publio]

Muchas gracias Trisko, efectivamente estaba confundiendo el vector aceleración resultante $\vec a$ con el normal $\vec a_N$, que sí que es perpendicular a $\vec v$.