Duda energía y sistemas inerciales.

[Faraday1101]

Muy buenas, este es mi primer hilo
Tengo un problema conceptual que busco resolver, pero no le encuentro vuelta, espero poder explicar lo mejor posible:

Supongamos que una nave espacial con tanque de combustible lleno(de masa despreciable) parte del reposo en un sistema inercial 1, y viaja un tiempo a máxima potencia hasta agotar la mitad del combustible y apagar el motor, según la primera ley de Newton la nave seguirá con velocidad constante v1. Ahora elijo otro sistema de referencia inercial 2 ahora solidario con el movimiento de la nave(que según este sistema ahora la nave está en reposo), enciendo nuevamente el motor y repito el procedimiento con la otra mitad del combustible hasta llegar a la velocidad final. Mi duda es la siguiente: ¿cuál es esta velocidad final de la nave según el sistema inercial 1? ¿y respecto al sistema 2?

Voy a tirar algunos datos (absurdos) para explicarme mejor, tenemos la ecuación de energía cinética: E=mv²/2, si m=2Kg, E=v². Si la energía disponible de la nave es de 200J y calculo todo en el sistema inercial 1, la velocidad final es 14.1m/s. Pero si lo pienso en las dos etapas, tengo que en la primera la energía disponible es 100J y v1=10m/s(y a esta velocidad se mueve el sistema 2). Y si ahora me paro en el sistema 2, tambíen parto del reposo y utilizo 100J restantes y la velocidad final en este sistema también es 10m/s, de modo que la velocidad final sería 20m/s según el sistema 1.
¿Qué estoy haciendo mal?

Saludos a todos!

[Richard R Richard]

La energía cinética desde el punto de vista del sistema de referencia 1 se calcula como la energía cinética del cuerpo dos aspectos de sistema de referencia en movimiento más la energía cinética del centro de masas de todo lo que se mueva en ese sistema de referencia En definitiva te va a quedar el doble de energía cinética al mismo resultado de velocidad cuando hagas la raíz cuadrada de la suma de energía cinética se quedará $\cancel{14.1} m/s$

Vere si encuentro algún texto apetecible para que refuerce la idea.

Edito ya encontre lo que buscaba pero no era como lo recordaba

[Faraday1101]

RRR Gracias por tu respuesta, pero aún no entiendo lo que sucede, por simplicidad considero la masa de la nave como puntual, ademas:
Entiendo que al medir la velocidad final en el sistema 1 debería dar 14.1m/s, pero si el sistema 2 se mueve a 10m/s respecto al sistema 1, en el sistema 2 debería medir una velocidad final de 4.1m/s. Y aquí me entra la duda, porque el movimiento de la etapa 1 en el sistema 1 es el mismo que la etapa 2 en el sistema 2, por lo tanto en el sistema 2 debería medir una velocidad final de 10m/s.

[sater]

Me parece un genial problema, y ahora mismo no se me ocurre la solución. Me gustaría que Richard desarrollase más lo comentado a ver.

Revivo un poco el hilo comentando para que no caiga en el olvido, a ver si alguien más se anima a comentar. Yo mientras seguiré pensando.

Un saludo.

[JCB]

Totalmente de acuerdo, sater. Pero como no me aclaro mucho con esto de los sistemas inerciales, no intervine.

[Richard R Richard]

Veo que he metido la pata hasta el cuadril,

La energía cinetica desde el sistema de referencia estático es

$Ec1=\frac12 m V_1^2$

La energía cinética del objeto en el sistema de referencia 2

$Ec2=\frac12 m V_2^2$

pero hay que recordar que V_2 es una velocidad rela tiva al sistem e referencia $V_2=V_1-V_{CM}=V_{REL}$

Luego $Ec1=\frac12 m (V_2+V_{CM})^2$

Si $V_2=V_{CM}$ entonces la energía cinetica del marco 1 es 4 veces la del marco 2 y la velocidad es el doble....

[sater]

No entiendo cómo esto soluciona el problema Richard. ¿Lo puedes explicar con más detalle?

Un saludo.

[sater]

Mi punto de vista, por si sirve de algo, es que realmente el SR2 (en movimiento todo el rato a 10 m/s desde el SR1) no estará de acuerdo en que ha sido necesario un trabajo de 100 J para que el objeto quede con velocidad cero en su sistema de referencia. Pero estoy intentando ver si eso se ve en las ecuaciones.

Un saludo mientras tanto.

[cejilla]

Creo que la respuesta puede estar en que el trabajo (variación de la energía cinética), es fuerza por desplazamiento. Ambos Sistemas de referencia están de acuerdo en la fuerza aplicada, pero dado que está inicialmente parado en uno y en otro moviéndose a 10 m/s, el desplazamiento, y por tanto el trabajo, es mayor en el sistema de referencia estacionario. De ese modo cuadra que en ambos referenciales el aumento de energía conduzca a un incremento de velocidad de 4.6 m/s, aunque eso implique distintos aumentos de energía en cada sistema de referencia.

[cejilla]

Con sistema de referencia estacionario me refiero al que ve la nave inicialmente en reposo.

[carroza]

Muy buenas, este es mi primer hilo
Tengo un problema conceptual que busco resolver, pero no le encuentro vuelta, espero poder explicar lo mejor posible:

Supongamos que una nave espacial con tanque de combustible lleno(de masa despreciable) .....

Hola.

Hay un punto clave, que está presente en la primera parte de tu enunciado. Fijate que siempre (y en especial en estos problemas de cohetes), hay que consdiderar la conservación de la energía y la conservación del momento.

Si, como dice imprudentemente tu enunciado, puedes despreciar la masa del combustible, entonces no hay forma humana de que acelerar tu nave. Ya puedes tener tuda la energía del mundo, que tu nave no se acelera.

Si lo haces correctamente, tienes que considerar que tu nave tiene una masa vacía M, y una masa de combustible 2m, donde m es la primera mitad que gastas. Imaginate que tienes una energía (química, portencial, o del tipo que sea), que llamas $2 E_p$, de la que gastas $E_p$ en la primera mitad.

Ahora, podrías hacer el calculo, suponiendo que "bruscamente", inviertes la energía $E_p$ en separar (nave + combustible sin quemar m) de (combustible quemado m), partiendo ambas del reposo.

No voy a desarrollarlo más. Te darás cuenta que, de toda la energía $E_p$, solo una pequeña fracción se convierte en energía de la nave más el combustible sin quemar (M+m), mientras que el grueso va a energía cinética del combustible quemado m.

Cuando lo tengas todo resuelto (no antes), puedes hacer el límite de $m \ll M$


Saludos, y disfruta resolviendo tu duda.

[sater]

Buenas Carroza. Al inicio pensé en esto, pero no seguí por que realmente la duda me asalta en cualquier otro contexto. Por ejemplo, ¿y en un coche que avanza gracias al consumo de gasolina? Es decir, que no tienen tanto que ver los efectos de impulso gracias a la expulsión de gases. Yo creo que en tal caso si se tiene cierta "paradoja" que viene de no hacer bien las cuentas del trabajo disponible en cada sistema de referencia.

[Richard R Richard]

Hola en mi último post, para llegar a despejar la velocidad solo hace falta igualar las dos expresiones de Ec1 ,
$Ec1=\frac12 m V_1^2$
$Ec1=\frac12 m (V_2+V_{CM})^2$

pues $V_2$ es una velocidad relativa al sistema e referencia $V_2=V_1-V_{CM}=V_{REL}$

Luego es directo que

$V_1=V_2+V_{CM}$

Que al principio ni razoné y que por supuesto es la obvia.

La primer ecuación surge de aplicar directamente la teoría. Y la segunda de aplicar marcos de referencia relativos.
Fíjate que lo mismo es que los 10m/s los desarrolle en linea recta o girando sobre un centro.
El sistema 1 medirá una energía cinética mayor que el que se mueva solidario al marco que se sitúa en el centro de rotación.

Paso a citar lo que la wiki pedia dice y yo recordaba mal por cierto,

La energía cinética de un sistema de diferentes marcos inerciales puede calcularse como la simple suma de la energía en un marco con centro de masas y añadir en la energía el total de las masas de los cuerpos que se mueven con velocidad relativa entre los dos marcos.

Esto se puede demostrar fácilmente: sea V la velocidad relativa en un sistema ''k'' de un centro de masas ''i'':
$E_c = \int \frac{\mathbf{v}^2}{2}dm = \int \frac{(\bar{\mathbf{v}}+\mathbf{V})^2}{2}dm =<br /> \underbrace{\int \frac{\bar{\mathbf{v}}^2}{2}dm}_{E_{c,int}}<br /> + \underbrace{\mathbf{V}\int \bar{\mathbf{v}} dm}_{\mathbf{V}\cdot\mathbf{P} = 0}<br /> + \underbrace{\frac{V^2}{2} \int dm}_{E_{c,Cn}}$
Donde:
$E_{c,int}\,$, es la energía cinética interna respecto al centro de masas de ese sistema
$\mathbf{P}$ es el momento respecto al centro de masas, que resulta ser cero por la definición de centro de masas.
$M\,$, es la masa total. de aspecto físico etc
Por lo que la expresión anterior puede escribirse simplemente como
$E_c = \overbrace{E_{c,int}}^{E_{rot}} + M \frac{V^2}{2} =<br /> E_{rot} + E_{tras}$
Donde puede verse más claramente que '''energía cinética parcial''' de un sistema puede descomponerse en su '''energía cinética de Traslación (física)|traslación''' y la energía de Movimiento de rotación|rotación alrededor del centro de masas. La energía cinética de un sistema entonces depende del Sistema de referencia inercial y es más bajo con respecto al centro de masas reverencial, por ejemplo, en un sistema de referencia en que el centro de masas sea estacionario. En cualquier otro sistema de referencia hay una energía cinética adicional correspondiente a la masa total que se mueve a la velocidad del centro de masas.

https://es.wikipedia.org/wiki/Energ%..._cin%C3%A9tica



Que sea un sistema de referencia en rotacion u otro marco iniercial , es lo mismo

[Richard R Richard]

Gracias a la intervención de carroza me di cuenta de donde estaba la cita que realmente quería introducir.

esta contenida aqui https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_masa_variable


Pero volviendo al tema por allí es mas entendible del siguiente modo. Veamoslo por el trabajo.

En el marco 2 el trabajo para llevar del reposo hasta los 10 m/s a la masa requiere una distancia x medida en ese marco de referencia (este proceso se da en un tiempo t)

Pero si miras en el marco 1 en ese mismo tiempo t la distancia recorrida aplicando la misma fuerza es mucho mayor que x , incrementado así mucho más que al doble sino al cuadruple la energía cinetica respecto de ese marco. Esto es fácil deducirlo por simples calculos cinematicos.

[carroza]

Sater, el coche que avanza sobre la tierra, empuja la tierra hacia atrás.
saludos

[Faraday1101]

Me alegra que se haya activado el hilo (gracias sater), pero aún no entiendo lo que sucede.

Si, como dice imprudentemente tu enunciado, puedes despreciar la masa del combustible, entonces no hay forma humana de que acelerar tu nave. Ya puedes tener tuda la energía del mundo, que tu nave no se acelera.

No creo que venga por aquí el problema, voy a suponer que el combustible utilizado es de una tecnología avanzada que utiliza la descomposición de materia-antimateria, de modo que la nave puede obtener mucha energía cinética sin afectar significativamente su masa.

Creo que la respuesta puede estar en que el trabajo (variación de la energía cinética), es fuerza por desplazamiento. Ambos Sistemas de referencia están de acuerdo en la fuerza aplicada, pero dado que está inicialmente parado en uno y en otro moviéndose a 10 m/s, el desplazamiento, y por tanto el trabajo, es mayor en el sistema de referencia estacionario. De ese modo cuadra que en ambos referenciales el aumento de energía conduzca a un incremento de velocidad de 4.6 m/s, aunque eso implique distintos aumentos de energía en cada sistema de referencia.

En el marco 2 el trabajo para llevar del reposo hasta los 10 m/s a la masa requiere una distancia x medida en ese marco de referencia (este proceso se da en un tiempo t)

Pero si miras en el marco 1 en ese mismo tiempo t la distancia recorrida aplicando la misma fuerza es mucho mayor que x , incrementado así mucho más que al doble sino al cuadruple la energía cinetica respecto de ese marco. Esto es fácil deducirlo por simples calculos cinematicos.

Estoy de acuerdo, sí me cierra que en la etapa 2 el aumento de velocidad en el sistema 1 sea 4.1 m/s, pero no me cierra que el aumento de velocidad sea ese mismo en el sistema 2. Cuando la nave comienza la etapa 2, arranca en reposo(según el sistema 2) y utiliza la misma energía que utilizó en la etapa 1, por lo tanto la aceleración, la distancia(en el sistema 2) recorrida al acabar el combustible, y la velocidad final, son una copia de la etapa 1, por lo tanto la velocidad final en el sistema 2 debería ser 10m/s y no 4.1m/s.

Poniendo todo en limpio, con los datos absurdos que ya dí:
-La nave de 2Kg dispone de 200J de energía para transformarlos en energía cinética(E=mc², la masa perdida es despreciable)
-Si parto del reposo y utilizo 100J, la velocidad final es 10m/s, defino el segundo sistema de referencia solidario a la nave, o sea que en el sistema 2, parto de nuevo en el reposo, y utilizo los 100J restantes: ¿Por qué en ese sitema 2 la velocidad final será de 4.1m/s?

[carroza]

Me alegra que se haya activado el hilo (gracias sater), pero aún no entiendo lo que sucede.



No creo que venga por aquí el problema, voy a suponer que el combustible utilizado es de una tecnología avanzada que utiliza la descomposición de materia-antimateria, de modo que la nave puede obtener mucha energía cinética sin afectar significativamente su masa.

Faraday, aunque tengas un generador de materia-antimateria, que convierta una pequeña cantidad de materia en mucha energia, para que sea energia se convierta en energia cinética de la nave, y no simplemente en fotones emitidos hacia detrás, debes tener en cuenta la masa (estrictamente el momento lineal) del combustible emitido hacia atrás.

Un saludo

[Faraday1101]

Faraday, aunque tengas un generador de materia-antimateria, que convierta una pequeña cantidad de materia en mucha energia, para que sea energia se convierta en energia cinética de la nave, y no simplemente en fotones emitidos hacia detrás, debes tener en cuenta la masa (estrictamente el momento lineal) del combustible emitido hacia atrás.

Un saludo

Es cierto lo que dices, pero me puedo ingeniar para que la energía que pueda aprovechar la nave sea de 100J y que la masa perdida sea despreciable. Por ejemplo: en lugar de combustible utilizo dos resortes comprimidos los cuales en uno de sus extremos hay una masa libre de 1g que voy a disparar en sentido contrario. La energía potencial de los resortes es de 200.000J cada uno. En el momento del disparo, se conserva el momento lineal de todo el sistema, la energía potencial se convertirá mayormente en energía cinética de la masa pequeña, y la nave podrá aprovechar unos 100J de energía cinética para autopropulsarse en sentido contrario, la masa perdida es despreciable.Y aquí vuelvo al problema original.

Saludos!

[carroza]

Hola.
Efectivamente, la energia disponible (200000J) se reparte de forma que la primera bolita se lleva el grueso de la energia (199900 J) y a la nave le corresponden 100 J. Eso es en la situación incicial, cuando ambas parten del reposo. Pero, si haces la cuenta, verás que cuando lanzas la segunda bolita, ya desde un sistema en movimiento, la conservación del momento te hace que la bolita ya no se lleve tanta energía, por lo que la que queda para aumentar el movimiento de la nave se hace considerablemente más grande .

Haz las cuentas.

Un saludo