sobre las distintas aceleraciones

[Publio]

Hola, tengo un lío teórico con la aceleración y no sé si alguien me podría desliar. Tenemos por un lado las dos componentes intrínsecas a_T y a_N y que el módulo de $\frac{ \mathrm {d} \vec v}{\mathrm{d}t}$ es el módulo de a_T, pero $\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$ es también un vector con una dirección que no es la de a_T ni la de la resultante de a_T y a_N. ¿Que significado físico tiene entonces la dirección de $\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$? ¿Qué tiene que ver este vector aceleración con las componentes intrínsecas aparte de ser el módulo de una de ellas?

[Al2000]

Disculpa, tienes algo mal. $a_T$ no es el módulo de $\dst \frac {d \vec v}{dt}$ sino $\dst \frac {dv}{dt}$.

Cuando derivas la velocidad respecto del tiempo, el resultado de la derivada contiene un término que representa el cambio de la rapidez (es lo que llamamos aceleración tangencial) y un término que representa el cambio de dirección de $\vec v$, y que llamamos aceleración normal.

Busca en tu libro o en Internet el cálculo de $\dst \frac {d \vec v}{dt}$. En este momento estoy en proceso de cambiar de navegador y no tengo las facilidades a las que estoy acostumbrado para escribir desarrollos matemáticos, sino con mucho gusto te los escribiría aquí.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Publio]

Gracias por la correción, Al2000. Ya he visto las demostraciones de donde se derivan $\dst \vec a_T$ y $\vec a_N$. Mi problema estriba en que, si el vector aceleración total es $\dst \frac {d \vec v}{dt}=\vec a_{total} =\vec a_T+\vec a_N$ , no sé qué interpretación dar al vector $\vec a=a_x\vec i + a_y\vec j$. Hasta ahora pensaba que $\vec a=\dst \frac {d \vec v}{dt}$ , pero no podrá ser así porque, entiendo, que $\vec a \not=\vec a_{total}$ y, entonces, ¿qué significado tiene $\vec a$?

[Sagitario A]

Hola,

La aceleración puede descomponerse tanto en aceleración normal y tangencial como en el eje x y en el y (o en cualquier otra base que desees)

$\vec{a}_{total}=\vec{a}_{N}+\vec{a}_{T}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}=\vec{a}$

Si quieres sumarlos en módulo:

$a=a_{total}=\sqrt{(a_N)^2+(a_T)^2}=\sqrt{(a_x)^2+(a_y)^2}$

[Publio]

Gracias, Sagitario A. Pero si $a_T=\dst \frac {dv}{dt}=a$, entonces $a_N=0$ , lo que no tiene sentido a no ser en un movimiento rectilíneo. Sé que algún concepto interpreto erróneamente pero no veo cuál.

[JCHC]

... Sé que algún concepto interpreto erróneamente pero no veo cuál.

Es que ambas aceleraciones son bastante independientes entre sí.
La tangencial necesita un cambio en la magnitud de la velocidad angular, la cual se puede traducir en un cambio en la velocidad tangencial del punto que se analiza.

La centrípeta no necesita ese cambio de la magnitud de velocidad angular, solamente necesita su cambio de dirección, el cual se garantiza si existen una distancia instantánea del punto al centro de rotación y una velocidad angular.

Imagine un cambio simultáneo del radio de rotación y de la velocidad angular: ?Qué pasaría con la magnitud del vector resultante de sumar ambas aceleraciones?

[Al2000]

Camarada, la aceleración es por definición el cambio en el tiempo de la velocidad: $\dst \vec a = \frac {d \vec v}{dt} = \frac {d^2 \vec r}{dt^2}$. Que dependiendo de la conveniencia del momento descompongas la aceleración como unas u otras componentes, es harina de otro costal.

Por ejemplo, es usualmente mucho mas sencillo describir el movimiento parabólico usando un sistema de coordenadas en el cual un eje coincida con la dirección constante de la aceleración y el otro eje sea por consiguiente perpendicular a la aceleración de manera que no hay componentes en ese eje. Pero eso es simplemente una conveniencia. Si a ti te da la gana de describir el movimiento parabólico usando coordenadas intrínsecas (o polares, o esféricas, etc) lo puedes hacer, aunque pueda resultar más complicado.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Publio]

Gracias JCHC y Al2000. Entiendo lo que me decís pero sigo sin comprender la relación entre la aceleración como $\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}$ y la aceleración como $\vec{a}=\vec{a}_{N}+\vec{a}_{T}$. Sé que en uno y otro caso estamos utilizando distintas bases ortogonales y que cada cual será más conveniente dependiendo del problema concreto. Lo que no tengo claro aún es si ambas expresiones están representando al final al mismo vector aceleración total o no. Si fuera el mismo, que entiendo que deberá ser así, sus módulos y direcciones serían las mismas y entonces me surge la duda que le he comentado a Sagitario A. No sé, perdonad el rollo pero me preocupa no entenderlo porque es señal de que algún concepto de base no tengo claro.

[Al2000]

Claro que es la misma (aceptando que estamos hablando de la misma aceleración ). Es decir, si una partícula se mueve con una aceleración $\vec a$ y nos resulta conveniente descomponer esa aceleración en un sistema referido al punto en la trayectoria en donde se encuentra la partícula, entonces descomponemos la aceleración en una componente tangencial y otra normal a la trayectoria ($\vec a = \vec a_T + \vec a_N$). Pero si nos resulta más cómodo trabajar con las componentes en un sistema cartesiano, entonces descompondremos esa misma aceleración en sus componentes X,Y ($\vec a = \vec a_x + \vec a_y$). Incluso en el espacio ($\vec a = \vec a_x + \vec a_y + \vec a_z$) o en algún otro sistema que resulte más cómodo en la situación que estemos analizando ($\vec a = \vec a_r + \vec a_\theta + \vec a_\varphi$).

Un vector cualquiera tiene infinitas posibilidades de ser expresado como la combinación de varias componentes. Cómo lo hagamos es una simple decisión de conveniencia.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Publio]

Gracias Al2000, por lo menos ya me has dejado claro algo importante. Pero entonces me surge la duda que comentaba en la respuesta a Sagitario A: si la magnitud de $a_T=\dst \frac {dv}{dt}$ en un movimiento curvilíneo, ¿cómo calculo la magnitud de la aceleración total a partir de las coordenadas rectangulares? Para mi sería lo mismo el módulo de $a_{total}$ y $\dst \frac {dv}{dt}: \sqrt {a_x^2+a_y^2}$, y es evidente que no debe ser así porque, entre otras cosas, $a_N$ sería siempre 0.

[JCHC]

Gracias JCHC y Al2000. Entiendo lo que me decís pero sigo sin comprender la relación entre la aceleración como $\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}$ y la aceleración como $\vec{a}=\vec{a}_{N}+\vec{a}_{T}$. .....No sé, perdonad el rollo pero me preocupa no entenderlo porque es señal de que algún concepto de base no tengo claro.

Quizás sea más simple si lo analiza desde el punto de vista de la velocidad angular.
Para un radio de giro o de rotación constante, tenemos aceleración angular solamente cuando la velocidad angular cambia.
El componente radial de la aceleración (aceleración centrípeta) siempre tendrá una magnitud igual al cuadrado de la velocidad angular multiplicado por el radio de rotación.

Para velocidad angular constante, el vector aceleración siempre se dirige hacia el centro de rotación y su magnitud no cambia.
Si la rotación se acelera o decelera, el vector aceleración se desvía de la dirección anterior hacia la dirección tangencial, sin llegar a ella y también crece en magnitud.

La animación del péndulo muestra los dos casos:
* Máximo valor de aceleración tangencial / mínimo valor de la aceleración centrípeta en las posiciones de máxima amplitud (velocidad angular es cero).
* Máximo valor de aceleración centrípeta / mínimo valor de la aceleración tangencial en la posición de mínima amplitud (velocidad angular es máxima).

La aceleración tomaría la dirección puramente tangencial solamente cuando el radio de rotación se hiciera infinito, lo que sería un movimiento rectilíneo.
Para establecer una rotación hay que forzar una masa con una fuerza no longitudinal, la cual causa un cambio de dirección del vector velocidad (sea este constante o variable).

[Al2000]

Gracias Al2000, por lo menos ya me has dejado claro algo importante. Pero entonces me surge la duda que comentaba en la respuesta a Sagitario A: si la magnitud de $a_T=\dst \frac {dv}{dt}$ en un movimiento curvilíneo, ¿cómo calculo la magnitud de la aceleración total a partir de las coordenadas rectangulares? Para mi sería lo mismo el módulo de $a_{total}$ y $\dst \frac {dv}{dt}: \sqrt {a_x^2+a_y^2}$, y es evidente que no debe ser así porque, entre otras cosas, $a_N$ sería siempre 0.

Mira, estamos dando vueltas sin llegar a ningún sitio. Esta conversación debió haber terminado en el mensaje #4 donde Sagitario A te lo puso todo claro y conciso. Voy a suponer que tu duda se origina en una mala interpretación de la notación. Cuando en tu mensaje #5 pones que $\dst a_T = \frac {dv}{dt} = a$ la segunda igualdad no es cierta. Pareces estar confundiendo la derivada del módulo de la velocidad con el módulo de la derivada de la velocidad. Esto parece un juego de palabras... mejor lo pongo en ecuaciones:

$$\frac {dv}{dt} = \frac d {dt} |\vec v| \neq \left | \frac {d \vec v}{dt} \right | = | \vec a | = a$$

En la única circunstancia en la cual es válida la expresión $\dst a = \frac {dv}{dt}$ es en el movimiento rectilíneo en donde por supuesto la aceleración "total" es la aceleración tangencial.

Para terminar, permíteme responder a tu mensaje diciendo que si conoces los valores temporales en coordenadas cartesianas de la aceleración y la velocidad de una partícula:

$$\vec a = a_x\, \vec \imath + a_y\, \vec \jmath$$

$$\vec v = v_x\, \vec \imath + v_y\, \vec \jmath$$

y quieres hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración, entonces lo que tienes que hacer es

$$a_T = \frac {dv}{dt} = \frac d {dt} \sqrt {v_x^2 + v_y^2}$$

$$a_N = \sqrt {a^2 - a_T^2} = \sqrt {a_x^2 + a_y^2 - a_T^2}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Publio]

Muchas gracias Al2000, se me hizo la luz, ahora me queda meridianamente claro al hacerme ver la diferencia entre la derivada del módulo y el módulo de la derivada. Saludos.

Muchas gracias JCHC, mi siguiente paso es, efectivamente, comprender la relación entre estas aceleraciones y la velocidad y aceleración angular. Saludos.

[JCHC]

...
Muchas gracias JCHC, mi siguiente paso es, efectivamente, comprender la relación entre estas aceleraciones y la velocidad y aceleración angular. Saludos.

Por nada, Publio.
No es tan difícil como parece.
Con el timón de su coche, es muy fácil cambiar la magnitud de la aceleración centrípeta solamente, modificando el radio de giro sin cambiar la velocidad lineal del coche.