1r ciclo Colisión de un cilindro y masa puntal

[Diego117]

Hola! Me gustaría saber su opinión sobre el siguiente problema. Lo que me causa duda es la combinación de conservación de momento angular y lineal.

Un cilindro homogéneo de masa M y radio r se mueve en línea recta hacia la izquierda con velocidad de centro de masa v_cm y rotando velocidad (w) respecto al eje del cilindro. El cilindro se aproxima a un resorte fijo de constante k, el cual puede lanzar una pequeña masa m hacia el cilindro a una distancia d por arriba de su centro de masa. Suponga que la pequeña masa queda pegada en el cilindro al colisionar con este y que el movimiento se realiza en ausencia de otras fuerzas (por ejemplo: peso o fricción de cualquier tipo). El momento de inercia de un cilindro alrededor de su centro de masa es I_cm = Mr^2

a) Considere una colisión frontal con d = 0 ¿Cuanto debe comprimirse el resorte para que al lanzar la masa m y esta colisionar con el cilindro, el sistema deje de trasladarse?

b) Preservando la compresión del resorte en el inciso anterior ¿Cuanto debe medir la distancia d, de tal manera que el cilindro deje de rotar?

Aquí la imagen:

En la primera supongo que al no producir torque la fuerza del impacto sobre el cilindro, w debe ser constante pero v_cm se vuelve 0. El momento lineal al final debe de ser igual al momento lineal al inicio... Lo que me da duda es el momento lineal de la partícula después de la colisión, creo que esta debe ser instantáneamente w * r pero en la dirección perpendicular al eje por lo que no nos interesa en la linea que une a la masa puntual y el centro de masa:

(v_cm* M) - (m * v) = 0

Despejando v podemos encontrar la energia cinetica de la masita y así la potencial y lo que debe de comprimirse el resorte.
No se si este razonamiento se encuentre bien, me gustaría escuchar su opinión y del segundo inciso si no tengo idea.

No es por dar lástima ni nada pero estoy estudiando para olimpiadas y desafortunadamente no tengo maestros así que muchas gracias!

[felmon38]

Re: Collisión de un cilindro y masa puntal

Hola Diego: Te lo intento resolver directamente.

Velocidad antes del choque de m: ${v}_{m }=\delta\sqrt{\frac{k}{m }}$
Sistema mecánico: la masa m y el cilindro.

a.1) Momento lineal.
Durante el choque la fuerza exterior horizontal sobre la masa m es igual y contraria a la que actúa sobre el cilindro luego se conserva el momento lineal horizontal del sistema:
$-\delta\sqrt{k.m}+M.{v}_{cm }=0$, de donde se despeja δ

a.2) Momento angular.
Tomando momentos de las fuerzas de contacto anteriores respecto del centro del cilindro, sumando y teniendo en cuenta que los momentos de las fuerzas exteriores al sistema, pesos, son nulos, se conserva el momento angular del sistema:
${I}_{ cm}.w={I}_{ cm}.{w}_{1 }+m.{w}_{ 1}.r$². (1)

b.1) Momento lineal.
$-\delta\sqrt{k.m}+{v}_{ cm}.M$=$(M+m).v$, de aquí sacamos la velocidad de translación.

b.2) Momento angular.
$-\delta\sqrt{k.m}.d+{I}_{ cm}.w=(M+m).v.d$, y de aquí la distancia d

Diego, no lo he repasado mucho, así que perdona si hay errores, que espero que los subsanes.

Saludos

[Diego117]

Re: Collisión de un cilindro y masa puntal

Muchas gracias! Sólo que me gustaría saber que pasa en el momento angular en a.2) Entiendo que tomas en cuenta que hay una conservación de momento angular, al inicio tenemos el momento del cilindro al rotar en cambio la masa puntal no tiene momento angular con respecto al centro del cilindro (de acuerdo con la definición de producto cruz de r y mv) y después de la colisión tenemos el momento angular del cilindro pero ahora tendríamos también momento angular de la masa puntual al estar rotando al estar pegado al cilindro:

0 + Iw = Iw₁ + w₁r²m

Lo que es ligeramente diferente a tu respuesta, ¿Cuál es mi error en este razonamiento?
Muchas gracias por tu ayuda!

[felmon38]

Re: Collisión de un cilindro y masa puntal

El error es mío también, porque creo que te falta elevar al cuadrado a r.
Saludos

[Diego117]

Re: Collisión de un cilindro y masa puntal

Disculpa y en b.2) el momento angular del sistema después de la colisión seria 0 no? ya que deja de rotar.

Gracias

[felmon38]

Re: Collisión de un cilindro y masa puntal

Según la definición de momento angular, no.
Saludos

[Diego117]

Re: Collisión de un cilindro y masa puntal

Hola, he intentado entender lo que me explicas cuando dices "Según la definición de momento angular, no." pero no lo he logrado según lo que sabia al dejar de rotar el sistema no debería de haber momento angular después de la colisión, si fueras tan amable de explicármelo te lo agradecería mucho.

Saludos.

[felmon38]

Re: Collisión de un cilindro y masa puntal

Hola Diego: la definición de momento angular de una partícula es más o menos:
"[FONT=Helvetica Neue]En [/FONT]mecánica newtoniana[FONT=Helvetica Neue], el momento angular de una partícula o masa puntual con respecto a un punto O del espacio se define como el [/FONT]momento[FONT=Helvetica Neue] de su [/FONT]cantidad de movimiento respecto de dicho punto", y digo más o menos porque habría que añadir el sistema de referencia utilizado para definir la cantidad de movimiento. Pero bueno, dejando esto de lado, la definición de momento angular de un sólido rígido sería:
"El momento angular de un sólido rígido con respecto de un punto O es la suma de los momentos de la cantidad de movimiento de sus partículas respecto de O".
Supongamos que el sólido rígido tenga un movimiento de translación lineal ( aquí no hay giro) ¿cuanto valdría su momento angular respecto de un punto O?. (Imagínate que esta es una pregunta de la Olimpiada).
Saludos

[Diego117]

Re: Collisión de un cilindro y masa puntal

Ok, entonces cuando un sólido rígido (en este caso el cilindro) sólo se traslada sigue teniendo un momento angular con respecto a un punto O que se puede calcular con el producto punto entre la posición de su Centro de Masa y el momento lineal que posee (igual a imaginar toda su masa concentrada en su centro de masa multiplicada por esa velocidad del centro de masa)... Entonces cuando el sólido rígido se traslada y rota al mismo tiempo y tenemos un punto fijo O el momento angular total del cilindro es: (I_cm*w) + (R_cm x P) = (I_cm*w) + (M*d*v_cm)

(En el dibujo el sólido sólo se mueve en x paralelo a este eje)

Supongo que el punto O debe de estar sobre un marco de referencia inercial, por lo que lo podemos colocar en el centro de masa del solido y así tener que su momento angular con respecto al punto de su centro de masa es únicamente: (I_cm*w)

En cambio si solo se traslada con respecto a un punto fijo O, como es en este caso, tenemos que su momento angular es: (M*d*v_cm)

¿Es esto correcto?

Muchas gracias!

[felmon38]

Re: Collisión de un cilindro y masa puntal

El resultado final es correcto aunque en el desarrollo tienes algún fallo que para mí te invalidaría la respuesta

1º El momento de inercia Icm es respecto del punto O.

2º El sólido no se traslada respecto del punto O, que es arbitrario, en principio, sino respecto del sistema de referencia elegido para definir la velocidad.

3º De acuerdo con la definición que hemos utilizado O puede ser un punto arbitrario.

Visto esto tengo que aclarar que aunque en la definición que he elegido de momento angular de una partícula, que he sacado de Internet, no se dice nada ni del sistema de referencia ni de si el punto O pertenece o no al sistema de referencia, ni del tipo de movimiento del sólido rígido, pues resulta que como se puede demostrar, el momento de las fuerzas ue actúan sobre un sólido respecto de un punto O, es el momento angular del sólido respecto del punto O, y respecto del sistema inercial,
siempre que O pertenezca al sistema inercial
Saludos.