1r ciclo Movimiento rectilíneo. Cambio en la variable independiente (t por x)

[Publio]

Hola a todos. Estoy a vueltas con un ejemplo del Alonso Finn para el movimiento rectilíneo al que no le veo la luz. Es el siguiente:

La aceleración de un cuerpo que se desplaza a lo largo del eje X es $a=(4x-2)$. Encontrar la ecuación de la velocidad con V₀ = 10 m s^-1 y X₀ = 0.

La resolución la entiendo y es: $v=\sqrt{4x^2-4x+100}$, pero después dejan como ejercicio "encontrar $x$ en función del tiempo $t$ usando la definición $\dst \frac {dx}{dt}$, esto es lo que no consigo sacar por ningún lado. ¿Me podría ayudar alguien?

[Alriga]

Hola Publio, gracias por participar en La web de Física, como miembro reciente lee Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Te están diciendo que:

$\ddot x=4x-2$

Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de 2º orden, de coeficientes constantes, completa:

$\ddot x-4x=-2$

Su solución, (que se halla fácilmente consultando cualquier manual básico de resolución de ecuaciones diferenciales sencillas), nos da la posición x(t)

$D^2-4=0 \quad \rightarrow \quad D=\pm 2$

Solución de la homogénea:

$x_h=c_1 e^{2t}+c_2 e^{-2t}$

Una solución particular de la completa:

$x_p=\dfrac 1 2$

Por lo tanto la solución general de la ecuación completa es:

$$x(t)=c_1 e^{2t}+c_2 e^{-2t}+\dfrac 1 2$$

Derivamos para hallar la velocidad:

$$v(t)=2 c_1 e^{2t}-2 c_2 e^{-2t}$$

Aplicamos las condiciones iniciales:

$$x(0)=0=c_1+c_2+\dfrac 1 2$$

$$v(0)=10=2c_1-2c_2$$

Resuelve este sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas para hallar las 2 constantes de integración y ya tienes la posición y la velocidad en función del tiempo.

$$x(t)=\dfrac 9 4 e^{2t}-\dfrac{11}4 e^{-2t}+\dfrac 1 2$$

$$v(t)=\dfrac 9 2 e^{2t}+\dfrac{11}2 e^{-2t}$$

Saludos.

NOTA. Hace poco dimos detalles de la resolución de una ec. diferencial de 2º orden en el hilo Ecuaciones diferenciales acopladas, te puede interesar consultarlo.

Otro camino posible es:

$\ddot x=\dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt}=v\dfrac{dv}{dx}=4x-2$

$v \ dv=(4x-2) \ dx$

Es una ecuación diferencial en variables separadas. Integrando a ambos lados:

$\dfrac{v^2}2=2x^2-2x+k$

$v(x)=\sqrt{4x^2-4x+K'}$

La condición inicial v(x=0)=10 m/s nos proporciona K':

$v(x)=\sqrt{4x^2-4x+100}$

Ahora planteamos que:

$v=\dfrac{dx}{dt}=\sqrt{4x^2-4x+100}$

Ecuación diferencial en variables separadas.

$dt=\dfrac{dx}{\sqrt{4x^2-4x+100}}$

$\dst \int dt=\int \dfrac{dx}{\sqrt{4x^2-4x+100}}$

Ahora hay que integrar a ambos lados de la igualdad, despejar x en función de t y aplicar la condición inicial x(0)=0. Este camino es mucho más largo y engorroso que resolver directamente la ecuación diferencial de 2º orden, como hemos hecho arriba.

Saludos.

[Publio]

Muchas gracias Alriga. Imagino que la resolución que pide el libro va por tu segunda opción y la que yo debería haber encontrado. Desgraciadamente no tengo práctica en el manejo de ecuaciones diferenciales y siempre dudo en cómo operar con los términos diferenciales. Voy a mirar el hilo que me apuntas. Saludos.