Cálculo del tiempo a partir de la aceleración

[Publio]

Hola, estoy tratando de solucionar un problema de cinemática del Beer-Jonhston para el que rogaría ayuda. El enunciado es como sigue:

La aceleración de una partícula se define mediante la relación $a = -8 \ ms^{-2}$. Si se sabe que $x = 20 \ m$ cuando $t = 4 \ s$ y $x = 4 \ m$ cuando $v = 16 \ ms^{-1}$, determine:

a) el tiempo cuando la velocidad es cero.
b) la velocidad y la distancia total recorrida cuando $t=11 \ s$.

Yo estoy planteando la siguiente relación:

$a=v\frac{\dst dv}{\dst dx} \Rightarrow \dst \int_{16}^v v \dst dv=\int_4^x a \dst dx \Rightarrow \frac {v^2}{2}-\frac {v_0^2}{2}=-8x+32$

Operando, $v_0=16$ y el tiempo cuando la velocidad es 0 me sale $t=2$ sustituyendo en $v=\dst \int_{v_0}^v -8dt=-8t+v_0$

Pero este resultado del tiempo no es correcto, ya que la solución es $t=4$. ¿Alquien me podría decir dónde está el fallo? Muchas gracias.

[Richard R Richard]

$x = 4 \ m$ cuando $v = 16 \ ms^{-1}$, determine:

$V_f^2-V_i^2=2a\Delta x<br />$
$(16m/s)^2-V_i^2=2(-8m/s^2)(x_i-4m)$

La aceleración de una partícula se define mediante la relación $a = -8 \ ms^{-2}$. Si se sabe que $x = 20 \ m$ cuando $t = 4 \ s$

$x_f=x_i+V_i t+\frac 12 a t^2<br />$

$20m=x_i+V_i 4s+\frac 12 (-8m/s^2) (4s)^2<br />$

a) el tiempo cuando la velocidad es cero.

$V_f=V_i+at$

$0 =V_i+(-8m/s^2) t$

con las 2 primeras ecuaciones puedes establecer la velocidad inicial y la posición inicial,(sistema de 2x2) con esta última reemplazas la velocidad inicial y despeja el tiempo que necesitas

b) la velocidad y la distancia total recorrida cuando $t=11 \ s$.

reusa las ecuaciones de cinematica reemplazando valores para ese tiempo especifico

[Publio]

Gracias Richard, tu planteamiento lo comprendo, pero estaba intentando solucionarlo con cálculo integral para coger un poco de práctica con el manejo de diferenciales, porque es un terreno en el que no estoy muy ducho, y es ahí donde me encuentro con el problema.

[Al2000]

...¿Alquien me podría decir dónde está el fallo?...

El primer fallo que tienes es el haber sustituido valores numéricos antes de terminar. Eso oscurece el desarrollo, tanto para ti como para el que te lee y hace más difícil rastrear cualquier error.

Yo estoy planteando la siguiente relación:

$a=v\frac{\dst dv}{\dst dx} \Rightarrow \dst \int_{16}^v v \dst dv=\int_4^x a \dst dx \Rightarrow \frac {v^2}{2}-\frac {v_0^2}{2}=-8x+32$

...

Aquí lo que hiciste en el lado derecho parece claro, sustituir $x=4$ como límite inferior de la respectiva integral; pero lo que hiciste en el miembro izquierdo es medio misterioso. Uno esperaría lo siguiente:

$$\int_{16}^v\!\! v\,dv = \frac {v^2} 2 - \frac {(16)^2} 2$$

lo cual llevaría correctamente a una ecuación que te da la velocidad en función de la posición. Sin embargo aparece un misterioso $v_0$ el cual a continuación dices de manera sospechosa que vale

...Operando, $v_0=16$...

¿Cómo dice?

En todo caso, nota que en el contexto de estos problemas $v_0$ usualmente significa $v_{(t=0)}$ cuando tu lo que tienes en la primera integral es $v_{(x=4)}$.

...y el tiempo cuando la velocidad es 0 me sale $t=2$ sustituyendo en $v=\dst \int_{v_0}^v -8dt=-8t+v_0$
...

Aquí de plano tienes una expresión incorrecta que yo quiero creer que es más una cuestión de tipeo a la hora de redactar el mensaje que un error de concepto. Creo que lo que quisiste escribir es que

$$\int_{v_0}^v\!\! dv = \int_0^t\!\! (-8)\, dt$$

la cual te llevaría correctamente a que

$$v = -8 t + v_0$$

siempre que no olvides que este $v_0 = v_{(t=0)}$ no es el mismo que usaste al principio del desarrollo ($v_0 = v_{(x=4)}$),

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Había garabateado algo pero no había forma de hacer algo ligeramente presentable de inicio a fin.

[Publio]

Muchas gracias Al2000. Efectivamente, ahora comprendo la primera correción que me haces. En cuanto al error de tipeo, no lo es, pero como si lo fuera, se me debió ir la pinza. Estoy haciendo bastantes ejercicios de este tipo del Beer-Johnston para ver si pillo algo de soltura.Saludos.