Otras carreras Momento angular

[Visitante]

Hola,

tengo hoy un ejercicio sobre momento angular y tensiones que no soy capaz de resolver, a ver si alguien puede echar una mano y colaborar para resolverlo. Aquí va el enunciado:

Dos partículas A y B, de igual masa m, están unidas mediante un hilo ideal de longitud L. La partícula A va unida a un punto fijo O mediante otro hilo ideal de la misma longitud L (ver figura). Las partículas se mueven, sin rozamiento, sobre el plano horizontal que pasa por O, girando alrededor de la normal a ese plano, OZ, con velocidad angular constante $\omega$ (con la dirección del eje z) y manteniéndose alineadas con O. Calcular: a) las tensiones en los hilos OA y AB; b) el momento cinético del sistema respecto a O; c) el momento cinético del sistema respecto a su centro de masas.

Un cordial saludo y buen verano

[JCB]

Hola a tod@s.

a) Empiezo por el hilo que une $A$ con $B$, dado que la tensión en este hilo solo depende de la masa $B$. Aplicando $\sum{F}=m_Ba_B$, a la masa $B$,

$T_{AB}=m_B\omega^22L=2m\omega^2L$.

Ahora aplico lo propio a la masa $A$,

$-T_{AB}+T_{OA}=m_Aa_A$,

$T_{OA}=2m\omega^2L+m\omega^2L=3m\omega^2L$.

b) El momento cinético (momento angular, o momento de la cantidad de movimiento), respecto del punto $O$,

$\vec{L}=\vec{r_A}\times m_A\vec{v_A}+\vec{r_B}\times m_B\vec{v_B}=(Lm\omega L+2Lm\omega 2L)\vec{k}=5m\omega L^2\vec{k}$.

Reflexionaré para el apartado c).

Saludos cordiales,
JCB.

[Visitante]

Hola,

Para el apartado c) se puede calcular restando el movimiento cinético ya calculado menos el producto vectorial del centro de masas por su momento lineal. $\vec{L_c}= \vec{L}-(\vec{r_c}\times m\vec{v_c})$.

Ahora bien, lo que yo no entiendo del ejercicio es como poner las coordenadas para hacer el producto vectorial, por ejemplo, la posición $\vec{r_A}$ va variando con el tiempo, como puedo indicar que este vector está rotando por así decirlo?

Muchas gracias por la aportación, en el primer apartado había llegado a ese mismo resultado, ahora me falta entender lo que he comentado.

Un cordial saludo

[Richard R Richard]

Si bien las masas giran , lo que estas buscando es el valor del modulo de $\vec L$ en un dirección y sentido que por convención sabemos cual es.
$L$( su modulo) no depende del ángulo $\theta$ ya que si eliges un sistema de referencia SR en que v dependa de theta$\theta$ también $r$dependerá de $\theta$ y al hacer el determinante, las componentes o bien se anulan o bien suman 1 (neutro de multiplicaciones), resultando en la independencia $L$ respecto de $\theta$ en este caso.
Y entonces es inteligente tomar un SR donde los senos y cosenos de $\theta$ sean fáciles y conocidos (0 y1) haciendo $\theta=0$ como lo pudo haber pensado JCB.
De ese modo solo queda la multiplicación directa de componentes en la dirección k perpendicular a un SR con $\vec r$ y $\vec v$ en el plano i j

[JCB]

Hola a tod@s.

Acabo de darme cuenta que quizás no sea buena idea nombrar a las distancias como $L$, pues puede inducir a confundirlas con el módulo del momento cinético.

De hecho, para hallar de forma rápida $\vec{L_A}$ y $\vec{L_B}$, he partido de que el módulo del momento cinético es $\vert\vec{L}\vert=rmv\sin\beta=rm\omega r=m\omega r^2$. La dirección de $\vec{L}$ es perpendicular al plano que contiene a $\vec{r}$ y a $\vec{v}$, por ser un producto vectorial. Y el sentido viene dado por la regla de la mano derecha (también por el mismo motivo anterior).

De manera alternativa, podrías hallar el momento cinético, aunque por un camino más largo, haciendo lo siguiente:

$\vec{r}=r\cos\omega t\vec{i}+r\sin\omega t\vec{j}$.

$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\omega\vec{k}\times(r\cos\omega t\vec{i}+r\sin\omega t\vec{j})=-\omega r\sin\omega t\vec{i}+\omega r\cos\omega t\vec{j}$.

Si te entretienes en calcular $\vec{L}=\vec{r}\times m\vec{v}$, llegarás a

$\vec{L}=m\omega r^2\vec{k}$. Resultado coincidente con el momento cinético de la masa $A$, calculado en el mensaje # 2.

Saludos cordiales,
JCB.