Polea

[luffy36]

También tengo este otro ejercicio sobre poleas: Una polea tiene un radio r=40cm, una masa de 10kg y el radio de giro es de 30cm. De los extremos del cable de la polea penden sendos pesos de 72kg y 50kg respectivamente. La polea debe vencer un momento de fricción de 1,2 Nm. Determinar: a) La aceleración de los pesos b) La aceleración angular de la polea. c) La fuerza vertical que hace el pivote de la polea. Suponer que el cable no se desliza sobre la superficie de la polea y que es indeformable.

Lo he hecho con un sistema de ecuaciones, con la tercera ley de newton tanto para los pesos como para el cilindro y considerando la condición de rodadura.
Llegué a estos resultados: aceleración= 1,59 m/s^2 , aceleraciñón angular= 5,28 rad/s^2 alguién me podría confirmar si estos resultados están bien? Después en el último apartado no sé hacerlo, lo he intentado igualando las fuerzas a cero y me da una tensión demasiado alta que creo que no está correcto. Alguien me hecha una mano porfavor?

[JCB]

Hola a tod@s.

Si el radio de giro de la polea es $r_g=\sqrt{\dfrac{I_O}{m_p}}$, $I_O=m_pr_g^2$.

La ecuación de la Dinámica de rotación es

$\sum{M_O}=I_O\alpha$. Suponiendo que no hay deslizamiento entre el cable y la polea, $a=\alpha r$,

$\sum{M_O}=I_O\dfrac{a}{r}$.

Situando la masa mayor (1) en el lado izquierdo, podemos esperar que se produzca un movimiento de giro en sentido antihorario (al que considero de signo positivo para los momentos). Por otra parte, como la polea no es ideal (tiene masa y resistencia de fricción al giro), las tensiones a cada lado de ella, no serán iguales.

$$T_1r-T_2r-M_f=m_pr_g^2\dfrac{a}{r}$$

El equilibrio dinámico de cada masa es

$$T_1-P_1=-m_1a$$

$$T_2-P_2=m_2a$$

Mediante estas tres ecuaciones llego a

$a=\dfrac{(P_1-P_2)r^2-M_fr}{(m_1+m_2)r^2+m_pr_g^2}=1,67\ m/s^2$.

$\alpha=\dfrac{a}{r}=4,16\ rad/s^2$.

Pensaré en el apartado c).

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

c) Fuerza en el pasador de la polea. De (2) y (3),

$T_1=P_1-m_1a$,

$T_2=P_2+m_2a$.

Aplicando $\sum{F_y}=0$,

$F-T_1-m_pg-T_2=0$,

$F=P_1+P_2+(m_2-m_1)a+m_pg=1.256,95\ N$.

Saludos cordiales,
JCB.

[luffy36]

tengo una duda, en la parte izquiera de la ecuación 1 (comentario #2) coges el radio de giro? 30 cm? o se coge el radio total de la polea? es que yo lo he hecho con el radio de giro y me da ligeramente diferente, esa era mi principal duda porque la tensión se aplica a una distancia de 30 cm del centro de masas no? o estoy equivocado?

[luffy36]

Para simplificar, lo que no entiendo bien es donde usar cada radio

[JCB]

Hola a tod@s.

luffy36: hay que distinguir entre el radio real ($r$) de la polea (que se puede medir), y el radio de giro ($r_g$) de esa misma polea, que es un artificio para poder expresar su momento de inercia como $I_O=m_pr_g^2$.

Dicho esto, en $T_1r-T_2r-M_f=m_pr_g^2\dfrac{a}{r}$, las tensiones $T_1$ y $T_2$ del cable, se aplican donde se halla el eje del cable, es decir a $r=0,4\ m$ del centro de la polea.

Saludos cordiales,
JCB.

[luffy36]

aaah vale, gracias, yo había entendido que la polea tenía una especie de endidura por donde pasaba la cuerda. lo había hecho al revés, gracias

[Richard R Richard]

aaah vale, gracias, yo había entendido que la polea tenía una especie de endidura por donde pasaba la cuerda. lo había hecho al revés, gracias

Correcto, en este caso podrías pensar , que la diferencia entre el radio externo y el radio por donde pasa la cuerda es de 10 cm, luego las aceleraciones se calculan con rg 30cm pero el momento de inercia lo calculas con el radio exterior.

[JCB]

Correcto, en este caso podrías pensar , que la docencia entre el radio externo y el radio por donde pasa la cuerda es de 10 cm, luego las aceleraciones se calculan con rg 30cm pero el momento de inercia lo calculas con el radio exterior.

Discrepo, Richard:

1) Cuando el enunciado indica una polea de radio $r=0,4\ m$, significa que esa es la distancia a su centro por donde pasa el cable o la cuerda.

2) Las aceleraciones no se calculan con $r_g=0,3\ m$, sino con $r=0,4\ m$.

3) El momento de inercia de esta polea, tampoco se calcula con su radio exterior (que ni siquiera sabemos cual es), sino con su radio de giro, $r_g=0,3\ m$. Recordemos que no se trata de una polea ideal, y por ese motivo se debe emplear el radio de giro para hallar su momento de inercia.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola JCB , estas imaginando una polea de diferente diseño , pero no veo cual.

Editare luego agregando un diseño de perfil de polea.

[luffy36]

yo también me la había imaginado así, pero en el solucionario coinciden los resultados de JCB