Otras carreras Campo gravitatorio

[Nathan]

Veréis, tengo una esfera de radio $R$ y centro origen de coordenadas, con densidad de masa $\rho_0$.
Tiene un agujero esférico de radio $\frac{1}{2}R$ con centro $x=\frac{1}{2}R$.
Quiero calcular el campo gravitatorio y el potencial en el eje $X$.

Se que dentro de la esfera hueca el campo es uniforme.

También se que si [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] entonces :

$g(x)=g_{esf.solida}+g_{esf.hueca}=\frac{GM_{solida}}{x^2}+\frac{GM_{hueca}}{(x-\frac{1}{2}R)^2}=$

$=\frac{G\rho_0(\frac{4}{3}\pi R^3)}{x^2}+\frac{G\rho_0(-\frac{4}{3}\pi (\frac{1}{2}R)^3)}{(x-\frac{1}{2})^2}=$
$=G(\frac{4\pi \rho_0 R^3}{3})(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{8(x-\frac{1}{2}R)^2})$

Debo integrar para hallar el potencial, pero no se como debo hacerlo.

¿Podrían ayudarme?, muchas gracias de antemano

[visitante20160513]

Re: Campo gravitatorio

Corrijo tu LaTex para que se vea bien:

Veréis, tengo una esfera de radio $R$ y centro origen de coordenadas, con densidad de masa $\rho_0$.
Tiene un agujero esférico de radio $\frac{1}{2}R$ con centro $x=\frac{1}{2}R$.
Quiero calcular el campo gravitatorio y el potencial en el eje $X$.

Se que dentro de la esfera hueca el campo es uniforme.

También se que si [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] entonces :

$g(x)=g_{esf.solida}+g_{esf.hueca}=\displaystyle\frac{GM_{solida}}{x^2}+\displaystyle\frac{GM_{hueca}}{\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}R\right)^2}=$

$=\displaystyle\frac{G\rho_0\left(\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3\right)}{x^2}+\displaystyle\frac{G\rho_0\left(-\displaystyle\frac{4}{3}\pi\left (\displaystyle\frac{1}{2}R\right)^3\right)}{\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2}=$
$=G\left(\displaystyle\frac{4\pi \rho_0 R^3}{3}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{x^2}-\displaystyle\frac{1}{8\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}R\right)^2}\right)$

Debo integrar para hallar el potencial, pero no se como debo hacerlo.

¿Podrían ayudarme?, muchas gracias de antemano

¡Uff! ¡que lio!

Vamos a ver si pongo un poco de orden, según lo que tu has escrito:

El campo de la esfera mayor supuesta maciza vale: $\mathbf E_1=\displaystyle\frac{4G\rho_0\pi R^3}{3}\frac{x}{|x|^3}\mathbf i$

El campo de la esfera menor supuesta maciza vale: $\mathbf E_2=\displaystyle\frac{G\rho_0\pi R^3}{6}\frac{(x-R/2)}{|x-R/2|^3}\mathbf i$

El campo resultante se obtendría en este caso como diferencia de los dos anteriores: $\mathbf{E_1-E_2}$

y el potencial se obtendría efectivamente integrando dicha expresión, aunque hay una forma más sencilla de hacerlo, y es calcular el potencial total como diferencia de los potenciales de cada una de las esferas, y posteriormente calcular el campo como gradiente del potencial cambiado de signo, prueba a intentarlo y si no te sale luego te ayudo, es mucho más sencillo.

NOTA 1: Debes tener en cuenta que el campo es una expresión vectorial que puede ser positivo o negativo dependiendo del lado de la esfera a la que te encuentres de ahí la expresión que puse para el campo de las esferas. La que tu pusiste no es correcta porque siempre asigna valores positivos al campo y eso no es correcto.

NOTA 2: Pero además hay otro detalle que te ha pasado también desapercibido, el campo en el interior de las esferas no responde a esa expresión, esa expresión solo es correcta para la región exterior a las esferas, y por lo tanto debes distinguir cuando estás dentro de alguna de las esferas o de las dos para utilizar las expresiones correctas en cada caso. Así a la izquierda de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] estás siempre fuera de las dos esferas, pero a la derecha de este punto puedes estar dentro de una de las esferas, dentro de las dos o fuera de las dos, así que la cosa es algo más complicada que lo que has supuesto. Las expresiones que yo he escrito solo valdrían entonces siempre que el campo se calcule fuera de la esfera mayor que es el único caso en que calculamos el campo fuera de ambas esferas, es decir cuando se cumpla:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Salu2, Jabato.

[Nathan]

Re: Campo gravitatorio

Yo sí supuse que estaba fuera de ambas esferas.
Puse que en el caso de estar en la esfera hueca el campo es uniforme, ya lo tengo resuelto.
Y si estoy dentro de la esfera solida, pues solo tendré que cambiar $M_{solida}=\frac{4}{3}\pi x^3$ con $-R<x<0$
Es cierto que no me habia percatado del vector director del campo, gracias.
Mi duda principal es entre que valores integrar mi ecuacion del campo para obtener el potencial.
Muchas gracias

[visitante20160513]

Re: Campo gravitatorio

Normalmente para calcular el potencial se realiza la integración entre un punto del infinito $(x\to\infty)$ y el punto donde quieres calcular el potencial, pero si utilizas el procedimiento de calcular primero los potenciales y luego calcular el campo como un gradiente no tendrás que hacer ninguna integración, y creo que será más sencillo. La ventaja de hacerlo así es que te quitas de un plumazo los dos problemas que tienes, el vector del campo ya que el potencial es un escalar y la integral de una expresión que tiene valores absolutos en la función subintegral.

Salu2, Jabato.

[Nathan]

Re: Campo gravitatorio

Sí, he entendido lo que quieres decir.
Pero sólo sé calcular el potencial a partir del campo y en ese caso particular no se si tendría que integrar entre [0,x] o entre [x,infinito].
Tampoco sé si debería integrar solo con respecto a x, puesto que se trata de una esfera y ¿deberia hacerlo en sus 3 dimensiones no?

[visitante20160513]

Re: Campo gravitatorio

No, te basta con hacer lo siguiente:

$V(x)=\displaystyle\int_\infty^x\mathbf{Edr}=\displaystyle\int_\infty^x\mathbf{E_1dr}-\displaystyle\int_\infty^x\mathbf{E_2dr}$

Lo que pasa es que en este caso la expresión del campo es algo complicada, aunque puede hacerse descomponiendo la integral en suma de otras para los distintos intervalos en que el campo tenga una expresión u otra. En esencia el potencial se define como el trabajo necesario para traer una partícula desde un punto de potencial nulo hasta el punto en que queremos calcular el potencial. El infinito en este caso tiene potencial nulo, y la trayectoria no interviene ya que al ser un campo potencial el trabajo solo depende de los punto inicial y final, pero no del camino recorrido.

Salu2, Jabato.

[Nathan]

Re: Campo gravitatorio

Debo suponer que $V(\infty)=0$ no?
Muchas gracias por tu ayuda, lo de resolver la integral es lo de menos, queria saber si mi razonamiento era el correcto y no estaba yendo por mal camino, muchisimas gracias por todo

[Richard R Richard]

Re: Campo gravitatorio

Mi solución creo que debe llevar a lo que Jabato te ha dado

$M=\dst\int_V\rho \dd V$

hasta que $r=\dfrac {R_e}2$ no hay materia en el interior por lo tanta la gravedad es nula.

Si la esfera fuera maciza la gravedad varia linealmente con la altura r

$g(r)=\dfrac{GM}{R_e^2}\dfrac{r}{R_e}$

Aqui tu masa es

$M=\rho\frac43 \pi(R_e^3-\dfrac{R_e^3}{2^3})$

por lo que g había concluido que quedaría si fuera lineal,


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


- - - Actualizado - - -
pero veo que jabato lleva razon en que el aumento de la gravedad sera con la inversa del cuadrado en el interior aun

$M_t=\rho\frac43 \pi R_e^3$ sería la masa de la esfera maciza


$g(r)= \dfrac{GM_t}{R_e^2}\dfrac{r}{R_e}-\rho\frac43 \pi\dfrac{R_e^3G}{8r^2}$ donde hay densidad mayor que 0

entonces
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Al2000]

Re: Campo gravitatorio

El campo de una esfera maciza de densidad constante $\rho_0$ y radio $R$ centrada en el origen, vale

$$\boldsymbol g_{(\boldsymbol r)} = \left \{\begin{aligned}<br /> &-\frac {4 \pi} 3 G \rho_0 \boldsymbol r, & 0 \leqslant r& \leqslant R \\ \\<br /> &- \frac {4 \pi} 3 G \rho_0 \frac {R^3}{r^3} \boldsymbol r, & R \leqslant r& < \infty <br /> \end{aligned}\right .$$

Para los puntos externos a la esfera maciza y/o al hueco, hay que superponer los campos como apunta Jabato para obtener $\boldsymbol g_\text {esfera} - \boldsymbol g_\text {hueco}$ y las expresiones son más engorrosas. Me quería referir al caso más interesante el el cual el punto es interior tanto a la esfera como al hueco. En ese caso:

$$\boldsymbol g_{(\boldsymbol r)} = -\frac {4 \pi} 3 G \rho_0 \boldsymbol r + \frac {4 \pi} 3 G \rho_0 \boldsymbol r' = -\frac {4 \pi} 3 G \rho_0 (\boldsymbol r-\boldsymbol r')$$

en donde estoy llamando $\boldsymbol r'$ al vector posición del punto donde se calcula el campo respecto del centro del hueco. Un sencillo esquema nos muestra que $\boldsymbol r - \boldsymbol r' = \frac R 2\, \boldsymbol i$. Entonces el campo en el interior del hueco vale

$$\boldsymbol g_{(x)} = -\frac {2 \pi} 3 G \rho_0 R\, \boldsymbol i, \quad 0 \leqslant x \leqslant R$$

que es un campo uniforme paralelo al eje X.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Campo gravitatorio

Hola Al creo que si tuvieras la esfera hueca sola , y le calculas como si fuera maciza para poder restar el campo en su interior sera

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]



y de la maciza

$g_m(r)=\rho G \frac 43 \pi R_e^3\dfrac{r}{R_e^3}$

por lo que $g(r)=g_m(r)-g_h(r)=0$

que se deriva del teorema de gauss si no encierras masa no tienes gravedad.(en condiciones de simetria)

No lo veo de otro modo

- - - Actualizado - - -

El campo de una esfera maciza de densidad constante $\rho_0$ y radio $R$ centrada en el origen, vale

$$\boldsymbol g_{(\boldsymbol r)} = \left \{\begin{aligned}<br /> &-\frac {4 \pi} 3 G \rho_0 \boldsymbol r, & 0 \leqslant r& \leqslant R \\ \\<br /> &- \frac {4 \pi} 3 G \rho_0 \frac {R^3}{r^3} \boldsymbol r, & R \leqslant r& < \infty <br /> \end{aligned}\right .$$

fijate que la primera parte de la ecuacion es independiente del radio exterior de la esfera por lo que valdra lo mismo para la maciza que para la hueca cuando los radio coincidan en el interior de ambas.

[Nathan]

Re: Campo gravitatorio

Yo, para el interior de la esfera hueca lo he resuelto como Al obteniendo un campo uniforme,con la misma expresión que él.

Muchas gracias a todos por la ayuda

[Richard R Richard]

Re: Campo gravitatorio

me he quedado con la espina de quien tiene razon, y si no la tengo, pues quiero aprender

no se de donde sale la expresión

$r-r'=\frac 12R_e \vec i$

si r y r' son vectores centrados y el punto a calcular el campo es el mismo entonces $r=r'\quad \to \quad g=0$


- - - Actualizado - - -

Estas páginas muestran que mi resultado es correcto

https://www.fisicalab.com/apartado/i...rio#contenidos

http://www.slideboom.com/presentatio...o-gravitatorio diapositiva 64

https://ar.answers.yahoo.com/questio...3040331AAE7fYp

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Tiene un agujero esférico de radio $\frac{1}{2}R$ con centro $x=\frac{1}{2}R$.

Acabo de ver cual era el problema la esfera no estaba centrada en x=0, todo lo que escribi no tiene sentido alguno mil disculpas

aqui tienes como se resuelve el problema que estas planteando.

[Al2000]

Re: Campo gravitatorio

Bueno, al menos el muchacho hace el intento, pero hace mal unos cuantos pasos aunque no lo sabe y llega a un resultado que parece correcto pero no lo es.

Yo no daría ese video como una buena referencia.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Campo gravitatorio

Finalmente llegue a la expresión que tu das Al. Seguí el video mentalmente dos veces y me convenció para aplicarlo en el interior de ambas esferas, pero las formulas cambian , pido disculpas por las molestias creadas.