Distribución de trabajo sobre cuerpos que pueden girar y trasladarse simultáneamente

[JCHC]

Quizás alguien pueda ayudarme a comprender, matemática o intuitivamente, la forma en que la energía o trabajo entregado a un cuerpo se distribuye o es consumido naturalmente por los movimientos simultáneos de rotación y traslación.
Problemas con discos o poleas que giran alrededor de un pivote fijo o móvil son comunes, y es relativamente fácil calcular su inercia de rotación y aceleración lineal (ejemplo: yo-yo y poleas móviles.
Al menos para mí, resulta difícil intuír y calcular los desplazamientos, las velocidades y las aceleraciones, angulares y lineales, si el centro de rotación es libre de moverse bajo la fuerza que causa el giro.

Un ejemplo podría servir como base para una explicación que agradecería:
Un disco vertical gira libremente montado sobre un soporte deslizante, sin fricción, sobre una superficie perfectamente horizontal.
Una cuerda se enrolla sobre el perímetro del disco.
Una fuerza horizontal y de magnitud constante se aplica a la cuerda sobre el punto más alto del disco vertical.

Entiendo que la proporción entre la aceleración angular y la aceleración lineal del disco depende de su momento de inercia, pero no veo la forma de calcular dicha proporción.
He tratado la ecuación de energía, pensando que el trabajo que la fuerza aplicada a la cuerda es capaz de producir debe consumirse simultaneamente en la rotación y la traslación.

[JCB]

Hola a tod@s.

Hace unos días que leí tu hilo, JCHC. Inicialmente llegué a una solución, sobre la que no tengo la certeza absoluta. Después he estado dando vueltas sobre el tema, pero siempre llego al mismo resultado. Si interpreto bien la descripción del ejemplo (un croquis habría ayudado mucho), primero planteo $\sum{F}=ma$ para el conjunto disco-soporte, siendo $a$ la aceleración lineal del centro de masas del conjunto disco-soporte.

$F=(m_d+m_s)a$,

$a=\dfrac{F}{m_d+m_s}$.

Después la dinámica de rotación para el disco.

$\sum{M_G}=I_G\alpha$,

$FR=\dfrac{1}{2}m_dR^2\alpha$,

$\alpha=\dfrac{2F}{m_dR}$. Luego la aceleración lineal del disco es $a_d=\alpha R=\dfrac{2F}{m_d}$.

Seguiré pensando en el asunto.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

Si introduzco rozamiento entre la base del soporte y el plano horizontal, llego a lo siguiente:

$\sum{F}=ma$,

$-\mu_k(m_d+m_s)+F=(m_d+m_s)a$,

$a=\dfrac{F-\mu_k(m_d+m_s)}{m_d+m_s}$. Lo cual era perfectamente esperable.

No obstante, para la aceleración angular del disco, obtengo la misma expresión que la que no tiene en cuenta al rozamiento, lo cual me sigue haciendo dudar, pues intuitivamente, si considero rozamiento, creo que la aceleración angular del disco debería ser mayor.

A ver si alguien aclara el asunto.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

No consigo darme cuenta como la distribución de los cuerpos. Un un gráfico de JCHC no vendría mal, para de valide o aporte algo mas.

[JCB]

Hola a tod@s.

Mi interpretación, sería algo parecido a esto:



El disco puede girar libremente (sin resistencia) entorno a un eje anclado al bloque (o soporte). Entre el bloque y la superficie horizontal, no se considera rozamiento.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCHC]

Hola a tod@s.

Mi interpretación, sería algo parecido a esto:



El disco puede girar libremente (sin resistencia) entorno a un eje anclado al bloque (o soporte). Entre el bloque y la superficie horizontal, no se considera rozamiento.

Saludos cordiales,
JCB.

Muchísimas gracias, JCB!
Has comprendido el problema perfectamente.
No estaba seguro del tipo de diagrama que podía mostrar sin violar las reglas del forum, ya que no puede tener texto, según entiendo.

El caso sin fricción simplifica el problema fundamental para mí, podría ser una pieza pesada deslizándose y rotando simultáneamente sobre un lago helado, mientras una fuerza constante tira de un cable o una cuerda previamente enrollada a su periferia.
Usando tu excelente diagrama como referencia, el cual sumariza el problema industrial real que debo calcular: Lo que más me confunde es la relación que se podría establecer entre la inercia a la rotación y la fuerza reactiva horizontal en el eje del soporte.

Intuitivamente asumo, incorrectamente quizás, que un disco con mínima inercia rotacional no transmitiría mucho de la fuerza tangencial al eje.
Sería como tratar de correr sobre un barril que flota.
Por otro lado, si hago un diagrama de cuerpo libre, me parece lógico dimensionar la fuerza de reacción en el eje exactamente igual a la fuerza tangencial del cable.
No logro ver cómo un momento de inercia enorme del disco se traduciría en un mayor "agarre" de la fuerza tangencial sobre el eje.

De nuevo muchas gracias por tu tiempo y amabilidad.

[Richard R Richard]

Hola , a ambos , el planteo de JCB, no lo veo correcto en lo siguiente...
$\alpha R\neq a$
pues la soga desenrolla

Si a es la aceleración del bloque, y conservo la notación de JCB


$F-\alpha R(m_d+m_s)-\mu (m_d+m_s)g=(m_d+m_s)a$

Y por supuesto

$F R-(m_d+m_s)aR=\alpha I$

un sistema 2 x 2 donde las aceleraciones son la incógnitas...

Como lo ven ustedes.?Gracias JCB, por tomarte el trabajo de hacer el grafico.

[JCB]

Hola a tod@s.

Richard: más que nada, no para aclarar el fondo del asunto (que aún no lo tengo claro del todo), sino para señalarte que dices que yo he escrito $a=\alpha R$, cuando eso no es cierto. En todo caso, sí que he escrito $a_d=\alpha R$. Deberías tener en cuenta la distinción entre $a$ y $a_d$. Te remito a mi mensaje # 2.

En otro orden de cosas, soy partidario de “volver” al planteamiento original del ejercicio, donde JCHC indica que no existen rozamientos.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Si claro JCB no preste atención al subincide.

Lo que ambos vemos y quiero resaltar ahora en palabras, es que la aceleración en traslación tanto con o sin rozamiento al piso , es diferente de la multiplicación de la aceleración angular y el radio.
Esta cantidad es la que el cable desenrolla, por lo que el eje solidario al soporte tendrá una aceleración menor a la del cable.

Es decir parte de la fuerza acelera traslacionalmente y parte hace rotar a la polea.

Luego el trabajo de la fuerza es

$W=\frac 12(m_d+m_s)v^2+\frac12I\omega^2$

Donde $v=at$ y $\omega=\alpha t$

Hay que señalar que

$\Delta x_t+\Delta \theta R=\Delta x_t+\Delta x_d=\Delta x_F$

$v+\omega R=v_F$

$a+\alpha R=a_F$

Donde el subincide F corresponde al punto donde se aplica la fuerza.

[JCB]

Hola a tod@s.

Precisamente, tenía iniciado el tema energético. El trabajo de la fuerza $F$, como tú ya dices Richard, se emplea en hacer girar al disco y en desplazar al conjunto disco-soporte. Un sistema de fuerzas equivalente al del croquis, es aplicar un momento $M=FR$ al eje, más una fuerza horizontal $F$ directamente al eje.

$W=M\theta+Fd=FR\theta+Fd=F(R\theta+d)=F\left(R\dfrac{1}{2}\alpha t^2+\dfrac{1}{2}at^2\right)$. Substituyendo las expresiones del mensaje # 2, $\alpha=\dfrac{2F}{m_dR}$ y $a=\dfrac{F}{m_d+m_s}$, llego a que

$W=F^2t^2\left(\dfrac{1}{m_d}+\dfrac{1}{2(m_d+m_s)}\right)$.

Si se hace la substitución en $W=\dfrac{1}{2}I\omega^2+\dfrac{1}{2}(m_d+m_s)v^2$ (expresión de tu mensaje # 8), se llega al mismo resultado.

Saludos cordiales,
JCB.