Problema estática módulo de Young

[Tuner99]

Hola, se me está complicando este problema para resolverlo.

Se usan dos hilos de secciones y modulos de Young (A1, 1) y (A2, 2) respectivamente para mantener una varilla de masa m despreciable y longitud d suspendida horizontalmente. Determine donde habra que colgar un bloque de masa M como indica la gura para que la varilla continuase suspendida horizontalmente.

Datos: A1= A2 = A; Y2 = 2·Y1 = 2Y





En rotación deduzco que T1·sen(pi/2)·(x) - T2·sen(pi/2)·(d-x) = 0 (para que haya equilibrio)

Cómo el módulo de Young de A2 es el doble que A1 la tensión T2 es el doble que T1 ¿no?

El problema viene a la hora de afrontar la traslación para luego resolver el sistema, ya que no sé como enfocarlo para añadir otra masa partiendo de que está desequilibrado.

T1·x - mg = 0
Mg - T2·(d-x) = 0

Esto es lo que saco, que no sé si está bien.

[JCB]

Hola a tod@s.

Felicidades Tuner99, a la tercera va a la vencida.

Como la varilla no experimenta ninguna rotación, aplico momentos en el lado izquierdo (por ejemplo) de la varilla:

$\sum{M_1}=0$,

$-Mgx+T_2d=0$,

$T_2=\dfrac{x}{d}Mg$.

En el equilibrio, también se cumple $\sum{F_y}=0$,

$T_1+T_2-Mg=0$,

$T_1=Mg-T_2=Mg\left(1-\dfrac{x}{d}\right)$.

Por otra parte, los alargamientos de los dos hilos son:

$\Delta l_1=\dfrac{T_1l}{ES}=Mg\left(1-\dfrac{x}{d}\right)\dfrac{l}{ES}$,

$\Delta l_2=\dfrac{T_2l}{2ES}=Mg\dfrac{x}{d}\dfrac{l}{2ES}$.

Para mantener horizontalmente a la varilla, los dos alargamientos deben ser iguales, $\Delta l_1=\Delta l_2$, llegando a que

$x=\dfrac{2}{3}d$.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

Además de dar una solución al ejercicio, tengo que precisar algunos conceptos.

En primer lugar, el enunciado indica “… una varilla de masa $m$ despreciable …”. Si la masa es despreciable, lo correcto sería escribir “… una varilla de masa despreciable …”, a menos que el autor del enunciado lo hiciese aposta, con la voluntad de despistar (veo que en una de tus expresiones la has incluido).

Considerando el equilibrio de la varilla respecto del punto de aplicación de la masa $M$, escribiste “En rotación deduzco que T1·sen(pi/2)·(x) - T2·sen(pi/2)·(d-x) = 0 (para que haya equilibrio)”. Más que en rotación, es en ausencia de ella. Como las tensiones de los hilos son perpendiculares a los brazos de palanca, para mí, esta expresión es correcta.

No obstante, te hago un comentario sobre el signo de los momentos. En general (quizás no todo el mundo lo haga), se toma el convenio de que los momentos en sentido antihorario son positivos. La razón es que es coherente con los ejes de coordenadas en el espacio (este argumento, lo aprendí de Al2000).

Luego sigues “Cómo el módulo de Young de A2 es el doble que A1 la tensión T2 es el doble que T1 ¿no?”. Efectivamente, esto es cierto si los alargamientos son iguales, aunque no lo tuve en cuenta para la resolución.

$\Delta l_1=\dfrac{T_1l}{ES}$,

$\Delta l_2=\dfrac{T_2l}{2ES}$. Igualando los alargamientos,

$T_2=2T_1$.

Habiendo deducido previamente esto último, la resolución se simplifica, pues aplicando la Estática ya tenemos bastante.

$\sum{M_1}=0$,

$-Mgx+2T_1d=0$,

$T_1=\dfrac{Mgx}{2d}$.

$\sum{F_y}=0$,

$T_1-Mg+2T_1=0$,

$3T_1-Mg=0$. Substituyendo $T_1$,

se llega también a que $x=\dfrac{2}{3}d$.

Saludos cordiales,
JCB.