Cuándo colisionan los péndulos

[Like Tony Stark]

Hola!
Debo resolver dos ejercicios similares. Los incisos los comprendo y puedo resolverlos. El problema es que me genera dudas algo asociado a la situación presentada en el problema...

Para la situación que muestra un péndulo completamente vertical y otro apartado de la posición vertical, se dice que este último colisiona elásticamente con el primero, y se pide hallar la amplitud máxima de cada uno luego del primer y segundo choque.
Para el primer impacto es fácil: se calcula por consideraciones energéticas la velocidad con la que impacta el péndulo inicialmente móvil y, usando la conservación de la energía y de la cantidad de movimiento, se hallan las velocidades luego del impacto de ambas masas. Con estos datos y consideraciones energéticas se hallan las amplitudes máximas.
Mi duda viene al momento de calcular las magnitudes asociadas al segundo impacto. No sé cuándo colisionan, es decir, no sé en qué posición se da el encuentro para calcular la velocidad de cada partícula en ese punto y así calcular la velocidad final del segundo impacto para cada masa, y, finalmente, la altura máxima. Para el primer impacto sé que la colisión se da en el punto más bajo, pero no tengo esa certeza con el segundo.


Para la situación en la que se ven ambos péndulos desplazados respecto de su posición de equilibrio, se dice que estos colisionan plásticamente, y se pide calcular la velocidad del cuerpo luego del impacto. Mi duda es la misma: cómo sé a qué altura se produce la colisión? Si tuviera la altura, podría calcular la velocidad al momento del impacto y, por conservación de la cantidad de movimiento, podría hallar la velocidad posterior, que es lo que me piden.

Pensé en resolver las ecuaciones de movimiento armónico simple para cada uno e igualándolas en la posición y el tiempo (de encuentro), pero estas solo son válidas para ángulos menores de 10°, que no es lo que tenemos acá.

[JCB]

Hola a tod@s.

Efectivamente, tal y como dices LTS, la situación del primer caso después del primer choque es la misma que la situación inicial del segundo caso (según el texto del enunciado, pues en las imágenes los casos están invertidos).

Partiendo de un péndulo que forma un ángulo $\theta_0$ con el eje vertical, expongo hasta donde llegué, aunque no he conseguido avances significativos desde entonces.

Por Cinemática o Dinámica de rotación, se obtiene $\alpha(\theta)=\dfrac{-g\sin\theta}{L}$. Aceleración angular variable, función del ángulo con el eje vertical.

Integrando con la condición de que para $\theta=\theta_0$, $\omega=0$,

$\omega(\theta)=\sqrt{\dfrac{2g}{L}(\cos\theta-\cos\theta_0)}$.

$v(\theta)=\omega(\theta) L=\sqrt{2gL(\cos\theta-\cos\theta_0)}$.

A partir de $\omega=\dfrac{d\theta}{dt}$, obtengo

$dt=\dfrac{d\theta}{\sqrt{\dfrac{2g}{L}(\cos\theta-\cos\theta_0)}}$. Y aquí me quedé, intentando relacionar el tiempo transcurrido con el ángulo recorrido.

A ver si alguien puede aportar algo de luz al asunto.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

El periodo del péndulo es independiente de la masa, por lo tanto vuelven a chocar en el mismo lugar, a mínima altura, ya que tardan el mismo tiempo en hacer un semiciclo....

Las amplitudes(las distancias de la masas al eje vertical) salen fácilmente por energías, y conservación de la cantidad de movimiento,,,,

[JCB]

Hola a tod@s.

Centrándonos en el primer caso, un péndulo a $45^{\circ}$ (1) y el otro vertical (2) (LTS: es deseable exponer un tema por hilo, para no dispersarse), supongo una longitud de cada hilo de $1\ m$ (en el enunciado no estaba definida), para simplificar los cálculos. De esta manera, y después del primer choque, obtuve que la nueva posición de cada masa es

$h'_1=0,02\ m$, $\theta ’_1=10,98^{\circ}$.

$h'_2=0,16\ m$, $\theta ’_2=33,36^{\circ}$

... / ... Pensé en resolver las ecuaciones de movimiento armónico simple para cada uno e igualándolas en la posición y el tiempo (de encuentro), pero estas solo son válidas para ángulos menores de 10°, que no es lo que tenemos acá.

Como me pareció muy coherente lo escrito por LTS, el propósito del desarrollo que hice en el mensaje # 2, era para llegar a alguna conclusión sin tener que recurrir a la simplificación de un MAS (siguiendo la línea trazada por LTS). Si asumimos el error que pueda derivar de la consideración de un MAS, la segunda parte del ejercicio (después del primer choque) se convierte en algo mucho más sencillo.

De hecho, si se considera un MAS, entiendo que significa emplear $\theta$, en lugar de $\sin\theta$, y el error cometido es del $0,61\ \%$ para el péndulo izquierdo, y del $5,88\ \%$ para el derecho. De todas maneras, sería interesante llegar a alguna conclusión prescindiendo de la simplificación.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Escribo el procedimiento para los 2 ejercicios , el subíndice 1 para la masa a la izquierda y 2 la otra.
para que tenga solución las velocidades iniciales son nulas.
primero aplicamos conservación de la energía, poniendo origen de altura el punto mas bajo de la trayectoria.
aqui hay que tomar otra idealización el diámetro de las masas es nulo por lo tanto hay contacto, cuando el CM de las dos masa se única en la vertical, lo cual no puede ser cierto.
Entonces en el impacto



$m_1gL(1-\cos\theta_{1i})=\dfrac12 m_1v_{1i}^2=\dfrac12 m_1v_{1f}^2+\dfrac12 m_2v_{2f}^2$

sabiendo que $v_{1}=v_{2}=0, \theta_{2i}=0$

De las primer igualdad tenemos las velocidad de impacto.
Es posible plantear conservación de la cantidad de movimiento.

$m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1f}+m_{2f}v_{2f}$

Con esta ultima ecuacion y la segunda igualdad anterior tenemos 2ec y 2 incógnitas.

De nuevo por energía podemos hallar los ángulos máximos de ascenso.

$m_1gL(1-\cos\theta_{1f}) =\dfrac12m_1v_{1f}^2$

$m_2gL(1-\cos\theta_{2f}) =2m_1v_{2f}^2$

Con lo que tenemos los ángulos de ascenso máximos, ahora la amplitud o la simplificas trigonometricamente,

$A_1=L\sin\theta_{1f}$

o tomas longitud de arco

$\dfrac{\theta_{1f}}{A_1}=\dfrac{2\pi}{2\pi L}$

así el primer impacto elástico, el segundo es reiterar el ejercicio haciendo que las condiciones finales del choque 1 sean las iniciales del choque 2, si se supones que el péndulo es ideal regresa a la misma posición con la misma velocidad en modulo y dirección pero de sentido contrario.

Para el segundo ejercicio con el choque inelástico cambian las ecuaciones energéticas y de cantidad de movimiento como si fuera un choque sobre el plano,

con los ángulos iniciales y velocidades iniciales nulas puedes calcular de nuevo las velocidades de impacto en el punto inferior, repito lo e mi pos anterior , no importa desde que punto se lance , tarda el mismo tiempo en llegar al punto inferior porque el periodo de oscilación no depende ni de la masa ni de la altura , solo de la longitud del hilo y de la gravedad, (claro para pequeños ángulos despreciando el radio de las esferas y despreciando rozamientos, flexiones, que hagan perder energía)

$m_1gL(1-\cos\theta_{1i})=\dfrac12 m_1v_{1i}^2$

$m_2gL(1-\cos\theta_{2i})=\dfrac12 m_2v_{2i}^2$



$m_{1i}v_{1i}+m_{2i}v_{2i}=(m_{1}+m_{2})v_{f}$

con la esta última ecuación tienes la velocidad final de las dos masas unidad

y de nuevo con

$(m_1+m_2)gL(1-\cos\theta_{f})=\dfrac12 (m_1+m_2)v_{f}^2$

sacas el ángulo que como ves no depende de la suma de las masas por simplificación

y con el ángulo tienes luego la amplitud del mismo modo que antes.

[JCB]

Hola a tod@s.

Richard: sigo todavía en el primer caso. Si se da por bueno (diría que es correcto, porque lo he contrastado con las energías. No obstante, a ver si alguien más hace los cálculos para una mejor confirmación) que la situación final del primer choque, es la que he descrito en el mensaje # 4,

$h'_1=0,02\ m$, $\theta ’_1=10,98^{\circ}$.

$h'_2=0,16\ m$, $\theta ’_2=33,36^{\circ}$.

No acabo de ver como esta situación, puede derivar en una condición del segundo choque idéntica a la del primer choque, pero con el signo de las velocidades cambiado. Eso significaría, que el choque se daría (por balance energético), otra vez en el eje vertical (siempre he considerado masas puntuales). ¿ Cómo se puede demostrar que el segundo choque tenga que ser en el eje vertical, también ?.

Ya veo que tendré que comprar un péndulo de Newton, y empezar a jugar con esferas de diferente masa .

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Cual es el periodo de la bola izquierda?
Cual es el periodo de la bola derecha?
cuanto tarda cada una en hacer un semiciclo es decir subir y volver a bajar?
con eso solo te das cuenta que vuelven a chocar en el mismo sitio, y que los resultados son: si no hay pérdida de energía, para el segundo choque conseguimos de nuevo los resultados iguales de la condición inicial del problema. Repitiendose eternamente uno y otro posible de los dos posibles resultados.

[JCB]

Hola a tod@s.

Disculpa la insistencia, Richard, pero no lo acabo de ver. A pesar de que un péndulo con la magnitud del ángulo de oscilación que nos ocupa (entre $10^{\circ}$ y $34^{\circ}$), no describe el movimiento de un MAS, parece que tendrá un período de oscilación corregido con un factor de ídem (ver https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A...mayor_amplitud).

No obstante, sigo sin comprender por qué el segundo choque, tenga que producirse en el mismo lugar que el primer choque. Aunque los choques, pueda llegar a entender que no modifican el período de oscilación, es indudable que modifican la trayectoria de ambos péndulos, y por tanto su posición en el tiempo. Seguiré reflexionando.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola JCB me cito

aqui hay que tomar otra idealización el diámetro de las masas es nulo por lo tanto hay contacto, cuando el CM de las dos masa se única en la vertical, lo cual no puede ser cierto.
.....si se supones que el péndulo es ideal regresa a la misma posición con la misma velocidad en modulo y dirección pero de sentido contrario.

...... (claro para pequeños ángulos despreciando el radio de las esferas y despreciando rozamientos, flexiones, que hagan perder energía)

estoy imponiendo condiciones de idealidad para resolver el problema, ...

1) ángulos pequeños con lo que conseguimos independizar el periodo respecto de la masa,y despreciar los errores introducidos por resolver una ecuación diferencial diferente a la real, cuando cambiamos $\theta$ por $\sin\theta$

$T=2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}$

2) No hay perdida de energía, no hay rozamiento con el aire de las bolas, del hilo, ni flexión del hilo en el soporte.

$W=0\quad \to \quad\Delta E_m=0$

3)considero el radio de las bolas mucho menor que la longitud del hilo $r<<L$





Entonces si el primer choque sucede a $\theta =0$ las bolas independientemente de su velocidad final, ambas en la misma dirección o en sentidos contrarios, tienen un periodo de oscilación

$T=2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}}$ independiente de su masa y se la velocidad resultante.

como partió justo del punto más bajo, llegar a la máxima amplitud y regresar al punto más bajo le lleva un tiempo igual a $T/2$ , "a ambas" luego estarán en el punto más bajo nuevamente cuando haya transcurrido un semiperiodo, osea $T/2$ y allí se dará el segundo impacto.

y para el segundo problema si la velocidad de donde se sueltan es nula, no importa entonces el ángulo del que se lanzan,porque para llegar al punto más bajo, ambas tardan $T/4$, luego allí se da la colisión comparten posición y tiempo, obviamente pasa si seguimos manteniendo las tres idealizaciones, el periodo de oscilación resultante sigue siendo el mismo ya que no cambia ni la gravedad ni la longitud del hilo.

Fijate que las dos Ecuaciones con 2 incógnitas tiene dos resultados posibles, de $(|v_1|,|v_2|)=[(v_{1i},0)\,o\,(v_{1i},v_{2f}) ]$

cuando la velocidad inicial en el impacto es $(v_{1i},0)$ a la salida tenemos $(\pm v_{1i},v_{2f})$,

volverán al centro con $(\mp v_{1i},-v_{2f})$ y

cuando la velocidad inicial en el impacto es $(\mp v_{1i},-v_{2f})$ a la salida tenemos $(-v_{1i},0)$ , luego

volverán al centro con $(v_{1i},0)$ y el ciclo se repetira...

Fijate que lo único que cambia la el periodo de un péndulo en la superficie terrestre es la longitud del hilo, si es que la gravedad la consideramos constante.

En definitiva el periodo del péndulo es independiente de la amplitud en la que es lanzado

Pd este tambien esta Bueno

[JCB]

Hola a tod@s.

Quizás no me haya explicado bien, pues no he especificado todos los pasos, ni todos los resultados. Los cálculos, como dije antes, los he hecho considerando una longitud de los dos hilos, igual a $1\ m$. La referencia para las alturas es la posición más baja de $m_2$. Las masas son puntuales.

1) Situación inicial (según la imagen del enunciado). $m_1$ a la izquierda, formando su hilo $45^{\circ}$ con la vertical de referencia, y con velocidad (representa que algo o alguien la sujeta en esa posición). $m_2$ a la derecha, formando $0^{\circ}$ con la vertical y con velocidad .

2) Situación inmediatamente anterior al primer choque. $m_1$ con velocidad hacia la derecha $v_1=2,40\ m/s$ (su hilo forma $0^{\circ}$ con la vertical). $m_2$ sigue en la misma posición y velocidad que en 1).

3) Situación inmediatamente posterior al primer choque. $m_1$ con velocidad hacia la izquierda $v'_1=-0,60\ m/s$. Este valor es coherente pues $m_1<m_2$. $m_2$ con velocidad hacia la derecha $v'_2=1,80\ m/s$. Los dos hilos siguen (en ese instante), en posición vertical.

4) Situación de altura máxima conseguida por las masas. Atención: no significa que esta altura máxima se consiga en el mismo instante de tiempo (a la vez). $m_1$ alcanza una altura $h’_1=0,02\ m$. Su hilo forma con la vertical un ángulo $\theta '_1=10,98^{\circ}$, al lado izquierdo de la vertical de referencia. $m_2$ alcanza una altura $h'_2=0,16\ m$. Su hilo forma con la vertical un ángulo $\theta '_2=33,36^{\circ}$, en el lado derecho.

Los valores de $h'_1$, $\theta '_1$, $h'_2$ y $\theta '_2$, son los mismos que los indicados en el mensaje # 4.

A partir de aquí, ya no sé seguir.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Bueno vayamos al trapo

$m_1gL(1-\cos\theta_{1i})=\dfrac12 m_1v_{1i}^2=$ de aqui$v_{1i}=2.395m/s$ si tomo L=1m

si resuelvo el sistema de ecuaciones 2x2 $v_{1f}=-0.5989m/s$ y el otro posible valor $v_{1f}=2.395m/s$ continuar como venía

$v_{2f}=1,796m/s$ y la otra opcion es $v_{2f}=0m/s$ talcual antes de chocar

con esos valores de velocidades la máxima altura la alcanza en este equilibrio

$m_1gL(1-\cos\theta_{1f})=\dfrac12 m_1v_{1f}^2\quad \to\ \theta_{1f}=-10\°58'$

$m_2gL(1-\cos\theta_{2f})=\dfrac12 m_2v_{2f}^2\quad \to\ \theta_{2f}=33\°21'$

4) Situación de altura máxima conseguida por las masas. Atención: no significa que esta altura máxima se consiga en el mismo instante de tiempo (a la vez). $m_1$ alcanza una altura $h’_1=0,02\ m$. Su hilo forma con la vertical un ángulo $\theta '_1=10,98^{\circ}$, al lado izquierdo de la vertical de referencia. $m_2$ alcanza una altura $h'_2=0,16\ m$. Su hilo forma con la vertical un ángulo $\theta '_2=19,08^{\circ}$, en el lado derecho.

Los valores de $h'_1$, $\theta '_1$, $h'_2$ y $\theta '_2$, son los mismos que los indicados en el mensaje # 4.

JCB, en un MAS como estamos suponiendo, ideal, un periodo consta de 4 partes iguales en tiempo,1 sube hacia la izquierda,2 baja luego hacia la derecha ,3 sube ala derecha y 4 baja ala izquierda. los 4 tiempos son iguales.
y como los periodos son independientes de la masa , como ya te presente en los videos ,estos tiempos son idénticos para la masa 2,
entonces van y suben tienen alcance máximo al mismo tiempo, caen , y luego tocan centro al mismo tiempo, es decir en el segundo choque

$v_{1i}=0.5989m/s$
$v_{2i}=-1,796m/s$

saliendo como primer opción

$v_{1f}=-2.395m/s$ llegando a $\theta =-45\°$
$v_{2f}=0m/s$ llegando a $\theta =0\°$

como segunda opción de la cuadrática es continuar como venia

$v_{1f}=0.5989m/s$ llegando idealmente a $\theta_{1f}=10\°58'$
$v_{2f}=-1,796m/sm/s$ llegando idealmente a $\theta =-33\°21'$

[JCB]

Gracias Richard. Me has hecho ver que tenía un error en el ángulo de m2, después del primer choque (había puesto 19,08 en lugar de 33,36).

[JCB]

Hola a tod@s.

Finalmente (me ha costado lo mío), creo haber entendido porqué dos péndulos de igual longitud, pero que forman distinto ángulo con la vertical, tienen el mismo período de oscilación, y por tanto, cuando se suelten, pasarán por la vertical al mismo tiempo (tal y como ya había dicho Richard en su mensaje # 3):

$T_0=2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$. Para $l=1\ m$, $T_0=2,0071\ s$.

Aunque por la magnitud de los ángulos que se alcanzan después del primer choque $(\theta '_1=10,98^{\circ}$ y $\theta '_2=33,36^{\circ})$, no podemos decir que se trata de un MAS en sentido estricto (estando éste reservado para ángulos más pequeños), por lo que el período de oscilación está afectado de un factor de corrección (ver https://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A...mayor_amplitud), resultando algo diferentes los períodos para cada péndulo:

Utilizando los factores de corrección para $10^{\circ}$ y $34^{\circ}$,

$T_1\approx 1,0019\cdot T_0=2,0109\ s$.

$T_2\approx 1,0225\cdot T_0=2,0522\ s$.

Luego, el segundo choque no se daría exactamente en la vertical.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Seguro JCB , no se da en la vertical, como a rajatablas tampoco se da el primero. pero los enunciados no los ponemos nosotros, y estimo que la idea era no salirse del MAS, porque de otro modo hay que resolver las Ecuaciones diferenciales, por métodos numéricos, para evaluar el tiempo y la posición, pero para justificar semejante labor, es mejor eliminar las tres condiciones de idealidad, entonces sì, resolver numéricamente tiene sentido, sino es usar el cañón, apuntando a la propia tropa... saludos