Otras carreras Hallar magnitudes cinemáticas conociendo la aceleración en función del ángulo [TEX]\theta[/TEX]

[Quim]

Buenas tardes:
En un boletín de problemas me aparece la siguiente cuestión: Conociendo la aceleración de una partícula dada, de masa $M$, en función del ángulo $\theta$ viene dada por: $a(\theta)= k\theta^{2}$, donde $k$ es un número real positivo, determinad:

a) El vector de posición en función de la componente temporal
b) El vector de velocidad en función de la componente temporal
c) Las componentes radial (R) y azimutal ($\theta$) del vector aceleración
d) La velocidad en función del ángulo, esto es, la velocidad azimutal.

No pretendo que resuelvan el problema, pues así nunca aprendería y, además, este foro no nace con este espíritu. Dentro de poco tengo un examen de esta asignatura, por ello me gustaría que me diesen claves y me ayudasen. Espero que entre todos podamos hacerlo, pues no sé cómo empezar.

Muchas gracias.

[Richard R Richard]

Para a)

$a(\theta)= k\theta^{2}$

$a(\theta)=\dfrac{d\omega (\theta)}{dt}=\dfrac{d\omega(\theta)}{d\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{d\omega(\theta)}{d\theta}\omega$

$\omega\dfrac{d\omega(\theta)}{d\theta}=k\theta^2$

$\omega d\omega = k\theta^2 d\theta$

$\dst\int\omega d\omega = \int k\theta^2 d\theta$

$\dfrac{\omega^2}{2}=\dfrac{k}{3}\theta^3$

$\omega=\sqrt{\dfrac{2k}{3}\theta^3}$

repitiendo

$\omega=\dfrac{d\theta}{dt}=\sqrt{\dfrac{2k}{3}\theta^3}$

$\dfrac{d\theta}{\sqrt{\dfrac{2k}{3}\theta^3}}=dt$


vuelves a integrar y obtienes $\theta(t)$

para b) es derivar $\theta(t)$ que ya lo tienes $\omega(t)=\sqrt{\dfrac{2k}{3}\theta^3}$

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Bueno cuando lei el punto 3 me doy cuenta que con

$a(\theta)= k\theta^{2}$

solo entendi que la aceleracion era angular,(en dirección $\theta$), el radio no figura para nada, la aceleración en dirección radial yo la calcularia con $\omega^2 R$ por ser la aceleración centrípeta

no se explica si es velocidad angular o velocidad tangencial, por lo que es solo un tema de dividir o multiplicar por el radio,

el último punto esta resuelto también entre las primeras fórmulas que calcule para $\omega$ o bien tienes que calcular $\omega R$

[Quim]

Lo que sucede que $\theta(t)$ no es el vector de posición. La información que me da es el ángulo en función del tiempo. El problema me pide el vector de posición, esto es, tanto el radio como el ángulo.

[Richard R Richard]

Pues entonces, plantearlo tal cual como ejercicio genérico teórico, el valor de R debes introducirlo, debe hacer una suposición del valor del radio mayor a cero a tiempo 0. y el valor de la velocidad radial a tiempo cero y deducir el resto tal cual lo hice.

[Quim]

No he entendido eso último

[Richard R Richard]

Veamos, el problema te da el valor del angulo a tiempo cero? no ,entonces lo impones tu, aclara como condidión de contorno en las integraciones que a tiempo 0 $\theta$ es cero, pero cuanto vale el radio inicial R? tampoco te lo dan ...no lo sabes, pues lo impones también,

Te deja librado al azar tu interpretación de la conservación del momento angular, y si la trayectoria es una circunferencia de radio R, o bien si también es posible que haya velocidad en direccion radial inicial o bien aceleración radial inicial.... todo eso es objeto de tu consideración... mas fácil velocidad y aceleracion radial las haces nulas y radio inicial igual a R, luego impones constancia del radio para lo cual la aceleracion tangencial es $\omega^2 R$