Ecuación del movimiento de un muelle

[Quim]

Buenas:

Me proponen el siguiente ejercicio:
"Hallar la ecuación que describe el movimiento de una masa $M$ unida a un muelle de constante $k$, sabiendo que la fuerza de rozamiento es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad. Una vez obtenida, esboce una gráfica que represente la posición frente al tiempo."

Basándome en la segunda Ley de Newton, he planteado la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

$\large m\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d} t^2} = -kx + \vartheta (\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^2$ (1)

donde $\vartheta$ es una constante de proporcionalidad.

He intentado resolver la ecuación diferencial (1) mediante los métodos que conozco, pero no llego a nada. Como no era capaz de hacerlo, he acudido al software MATLAB, pero no es capaz de resolverla. Entonces cuando he visto que MATLAB no era capaz de resolverla, me he planteado que quizás el problema no se resuelva cómo yo pretendo. ¿Se les ocurre alguna otra forma de hacer el problema?

[Erebus]

Creo que el segundo término del miembro derecho sebería ser negativo, dado que la fuerza de rozamiento también (al igual que la de Hooke) se opone a la dirección de movimiento.

[Quim]

Aunque fuera así, MATLAB sigue siendo incapaz de encontrar una solución a la ecuación diferencial. Gracias de todas formas!!

[Al2000]

La fuerza de Hooke no se opone al movimiento, sino que apunta siempre hacia la posición de equilibrio. La ecuación diferencial es en realidad más complicada pues el segundo término depende del sentido de la velocidad y habría que incluir el factor sgn(v) como parte del término.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Quim]

¿Podría escribir la ecuación diferencial que propone? Porque no he entendido muy bien lo que me ha querido decir.

[Erebus]

Disculpen, vi mal el problema. Tu ecuación es correcta Quim. De hecho los signos deben ser opuestos. Así el movimiento cesará por la fricción, de lo contrario el movimiento sería indefinido.

[Richard R Richard]

La ecuación me parece que es de la forma

$m\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d} t^2} = -kx- \dfrac{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right )^2}}\vartheta (\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^2= -kx- \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$$\vartheta \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right )^2}$

nada fácil,

osea

$\large m\ddot x = -kx -\dfrac{\dot x}{\sqrt{\dot x^2}} \vartheta (\dot x)^2= -kx -\dot x \vartheta \sqrt{\dot x^2}$



pero igualmente sabemos que es un sistema amortiguado. el valor de k determina si necesitas mas o menos de un semiperíodo partiendo des la máxima amplitud.

[Quim]

Podría explicarme con más detalle cómo surge dicha ecuación diferencial? La verdad que no entiendo como llega a ella.

[Richard R Richard]

haces la sumatoria de fuerzas sobre la partícula, esta sometida a dos fuerzas una es la fuerza del muelle, que depende de la posición relativa al punto de equilibrio,$-kx$ y la otra es la que te dicen que es un rozamiento, y no depende de la posición siempre tiene dirección contraria a la velocidad, para dar el signo correcto, debes multiplicar el valor $\vartheta (\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t})^2$ por la velocidad dividido el modulo de la velocidad, ese valor es $\pm1$ respecto de la posición porque mientras la posición no sea uno de los extremos donde la velocidad es nula para cada x tenemos dos veces que pasa la partícula, en cada paso la velocidad tiene un signo diferente , luego el rozamiento se opone a esta velocidad y tiene signo diferente según el semiperiodo se trate.

[Quim]

¿No sería, entonces, menos engorroso multiplicar el término de la fricción por el signo de la velocidad, esto es, sgn(v)?

[Erebus]

Yo intenté expresar la ecuación en términos de una sola función del tiempo y sin la derivada al cuadrado. Si se deriva la ecuación de Quim con respecto del tiempo:

$$<br /> m\frac{d^3x}{dt^3}=-k\frac{dx}{dt}\pm2\vartheta\left(\frac{dx}{dt}\right)\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right) = \frac{dx}{dt}\left(\pm2\vartheta\frac{d^2x}{dt^2}-k\right).<br />$$

Si ahora recordamos que $v=\frac{dx}{dt}$, entonces la ecuación anterior se puede reescribir como sigue:

$$<br /> m\frac{d^2v}{dt^2} = v\left(\pm2\vartheta\frac{dv}{dt}-k\right).<br />$$

Aún no sé cómo se resuelve, pero en la liga siguiente liga puedes ver algunas ecuaciones similares. Yo no encontré alguna igual a ésta pero dos que se le parecen son la de Ricatti y la de Van der Pol. Tal vez se encuentre la forma que propone Richard.

https://en.wikipedia.org/wiki/List_o...tial_equations

[Quim]

¿Por qué en la ecuación (1) aparece la tercera derivada del vector posición?

[Erebus]

Sólo derivé tu ecuación (tomé la derivada en ambos miembros de la ecuación). El miembro izquierdo de tu ecuación ya tiene la segunda derivada de la posición (aceleración). Al tomar su derivada se obtiene la tercera derivada de la posición (creo que le llaman sobre-aceleración). Suponiendo que mi propuesta fuera válida y fuera posible resolverla para la velocidad $v$, entonces podríamos obtener la posición $x$ integrando la velocidad.