1r ciclo Convención de signos.

[bruno_uy]

Tengo el siguiente ejercicio: Tres objetos se cuelgan de poleas sin masa y sin fricción. El hilo que une el sistema es inextensible y de masa despreciable. Calcule la aceleración de cada objeto y la tensión en la cuerda.



Sea: $m_1 = 1 kg$, $m_2= 2 kg$ y $m_3= 3 kg$

No estoy muy claro con la convención de signos.
Ya que por ejemplo asigno signo positivo a los vectores que favorecen que la masa m{as grande baje.

Entonces hago las siguientes ecuaciones de movimiento:
$m_1$) $T - m_1g = m_1a_1$

$m_3$) $m_3g - T = m_3a_3$

$m_3$) Entonces aquí no se como asignar los signos, veo que $m_2g$ favorece que $m_3$ suba, pero tambien que $m_1$ suba.
Intuitavamente las dos T tirararían hacia arriba sobre $m_2$ pero analíticamente no consigo llegar a eso. Ya que se me cruzan por la cabeza casos en que la $m_1$ baja, $m_3$ sube, y $m_2$ se queda quieta como si estuviera fija.
En resumen: veo que el sistema puede moverse de diversas maneras, agradezco cualquier aporte a los efectos de lograr comprender el problema.

Saludos, Bruno.

[arivasm]

Re: Convención de signos.

Yo lo enfocaría de esta manera: en vez del criterio que indicas, elijo como sentido positivo hacia abajo (o hacia arriba). De esta manera

$m_1g-T=m_1a_1$
$m_2g-2T=m_2a_2$
$m_3g-T=m_3a_3$

Como ves tienes tres ecuaciones y cuatro incógnitas. La cuarta procede de que el movimiento de una de ellas es dependiente del de las otras dos a través de la rigidez de la cuerda. Supongamos que la masa 1 desciende una distancia $d_1$ respecto de la posición inicial y que la tercera desciende una distancia $d_3$. La parte de cuerda comprendida entre las dos poleas superiores se habrá acortado entonces una distancia $d_1+d_3$. Para ello la polea central habrá ascendido una distancia igual a la mitad de la anterior. En consecuencia, las aceleraciones guardan la siguiente relación, teniendo en cuenta el criterio de signos anterior:

$a_2=-\frac{1}{2}(a_1+a_3)$.

[bruno_uy]

Re: Convención de signos.

Muchas gracias, el ejercicio quedó resuelto.
No obstante, me queda una duda más general. En una máquina de ATwood simple, la polea lo que hace es invertir el signo de la tensión.


Entonces aquí los signos se escogen de otra manera, según la figura con m la masa de la izquierda y M la de la derecha:

$T - mg = ma$
$Mg - T = Ma$

Observar que la polea lo que hace es cambiar el signo de la tensión. Si bien las tensiones siempre tiran hacia arriba, en un caso van en la dirección positiva del movimiento y en el otro en la negativa.
Pero en el caso del ejercicio las poleas no cambian el signo de la tensión.
No sé si soy claro con la duda.
No termino de entender a qué se debe esa diferencia, para poder establecer una regla general.

[visitante20160513]

Re: Convención de signos.

Los signos son convencionales, lo que debe ocurrir son dos cosas:

1ª).- El sentido positivo siempre debe coincidir con el sentido del vector unitario en el eje de dicha dirección.
2ª).- Todos los vectores deben medirse (su componente) conforme a dicho sentido.

Una vez establecido el sentido positivo en el eje que corresponda, las ecuaciones deben ser coherentes con lo anterior, y si todo esto se cumple, el resultado debe ser el correcto.

Por ejemplo, si estableces para la coordenada $y$ el sentido positivo hacia arriba, todo lo demás te viene dado y todos los vectores que apunten hacia arriba serán positivos y hacia abajo negativo.

Las tensiones no tienen signo ya que deben interpretarse en función del objeto sobre el que aplican. Cuando aplican sobre la masa son positivas (admitiendo que las $y$ crece hacia arriba) y cuando aplican sobre la polea son negativas.

Salu2, Jabato.

[bruno_uy]

Re: Convención de signos.

][/FONT]
1ª).- El sentido positivo siempre debe coincidir con el sentido del vector unitario en el eje de dicha dirección.
..............................
Las tensiones no tienen signo ya que deben interpretarse en función del objeto sobre el que aplican. Cuando aplican sobre la masa son positivas (admitiendo que las $y$ crece hacia arriba) y cuando aplican sobre la polea son negativas.

Observa que si asi fuera en el ejemplo de la maquina de ATwood yo debería escribiar las ecuaciones de movimiento como:
$T - mg = ma$
$T - Mg = Ma$

y eso estaría mal.
Quizá no te entendí bien, no me queda del todo claro, me parece que lo único que funciona es tratar de comprender como se mueve el sistema y asignar los signos a las tensiones en función de eso, pero a veces los sistemas son complejos por su cantidad de poleas y se pueden cometer errores.

En concreto en lo que tengo dudas es en que signo asignarle a cada tensión, como se ve en los dos casos de las imágenes que subí, las tensiones se interpretan con distinto signo.
Y no termino de aclararme en ese punto. Espero haber podido trasmitir con claridad mi duda.

Saludos y gracias por sus aportes.

[arivasm]

Re: Convención de signos.

Observa que si asi fuera en el ejemplo de la maquina de ATwood yo debería escribiar las ecuaciones de movimiento como:
$T - mg = ma$
$T - Mg = Ma$

y eso estaría mal.

Lo que estaría mal es atribuir la misma aceleración (como componente, no como módulo) a ambos cuerpos. En rigor sería

$T - mg = ma_1$
$T - Mg = Ma_2$

donde $a_1+a_2=0$. Por tanto, si llamas $a$ a la componente vertical de la aceleración de la masa de la izquierda (tomada positiva hacia abajo arriba) el sistema será

$T - mg = ma$
$T - Mg = -Ma$

[felmon38]

Re: Convención de signos.

En concreto en lo que tengo dudas es en que signo asignarle a cada tensión, como se ve en los dos casos de las imágenes que subí, las tensiones se interpretan con distinto signo.

bruno, la tensión de la cuerda es positiva y es el módulo de la fuerza que un trozo de la cuerda ejerce sobre el otro. Las fuerzas que figuran en la ecuación dinámica aplicada a un bloque son las fuerzas que actúan sobre el bloque: su peso y la fuerza que la cuerda ejerce sobre el bloque. Si la consideramos de sentido positivo, en la ecuación se puede poner T. Si ahora consideramos la fuerza que el bloque ejerce sobre la cuerda, tendrá sentido contrario, es decir la podemos poner como -T.
Saludos

[bruno_uy]

Re: Convención de signos.

Muchísimas Gracias, ahora sí voy entendiendo, si asumo que todos los vectores hacia arriba con positivos y hacia abajo negativos, no sólo tengo que considerar las fuerzas sino también el vector aceleración de cada masa, entonces ahí sí no hay como errarle.

Sólo me queda algún caso puntual por esclarecer.
En la máquina de ATwood como bien dijeron se cumple: $a_1 + a_2 = 0$ entonces $a_1 = -a_2$
Ahora, observen el siguiente caso: una máquina de ATwood "de segunda mano"


Sea $m_1$ la masa de la izquierda y $m_2$ la de la derecha
Observar que L es el largo de la cuerda, m es la distancia hasta de $m_1$ a la polea, y n la distancia de la polea a $m_2$
Intuitivamente es obvio que si el sistema se mueve junto hacia la derecha entonces las aceleraciones de las dos masas son las mismas, con una cuerda ideal de largo L.
Quiero verificar analiticamente que las aceleraciones sean iguales. Entonces al igual que en el caso de la máquina de ATwood hago:
$m + n = L$
digo que m depende de t y n también.
entonces derivo dos veces:

$a_1 + a_2 = 0$ entonces $a_1 = - a_2$
Lo cual no sería cierto.

Cual es el error? hago lo mismo que para calcular las aceleraciones en la maquina de ATwood, en la misma es correcto que las aceleraciones sean opuestas, pero aquí no.
Observar que la polea como quien dice está de adorno ya que no afecta nada, es como una máquina de ATwood abierta.

[Al2000]

Re: Convención de signos.

El error es que estás obviando al derivar que cuando "n" aumenta, "m" disminuye. Si tomas eso en cuenta entonces v1-v2 = 0 => a1-a2 = 0. Nota que "m" y "n" como las estás tratando no son coordenadas, sino longitudes.

Si estableces un sistema de coordenadas con origen en la polea y dices que la posición del cuerpo de la derecha es "x1" y el cuerpo de la izquierda está en "x2", la longitud de la cuerda es L = x1-x2 y al derivar vas a obtener correctamente que a1 = a2.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

- - - Actualizado - - -

Aunque no se si te pueda interesar, de todas maneras quiero compartir una reflexión contigo (y cualquier otro interesado que nos lea). No olvides que lo que está detrás de todo estos ejercicios que estás ventilando aquí, es una ecuación vectorial, donde todos los términos que aparecen lo hacen sumando. La aparición de los signos siempre va ligada a algún sistema de referencia que uno elija, a veces sin especificarlo explícitamente (aunque se debería especificar).

Pongo por ejemplo el caso simple de la máquina de Atwood que mencionas en el mensaje #3. Si identificamos los cuerpos como 1 y 2, las dos ecuaciones de los cuerpos son:

$$\left \{\begin{aligned}<br /> \boldsymbol T_1 + m_1 \boldsymbol g &= m_1 \boldsymbol a_1 \\ <br /> \boldsymbol T_2 + m_2 \boldsymbol g &= m_2 \boldsymbol a_2 <br /> \end{aligned}\right .$$

Claro, nadie quiere hacer esto sino que directamente escribe las relaciones en función de sus componentes. Cada una de esas ecuaciones puede representar hasta tres ecuaciones escalares, y la determinación de cada componente, incluido su signo, depende del sistema de referencia que se elija.

Es muy común, especialmente entre los mas adiestrados, que se elija un sistema de referencia diferente para cada ecuación. Algunas veces se dice "tomar como referencia el sentido del movimiento". Otras veces se elije un sistema de referencia común y se escriben todas las componentes de acuerdo con ese sistema. Ambas formas funcionan bien y no debería haber mayor razón que el gusto personal para elegir entre uno u otro método.

Siguiendo con el ejemplo, si decido escribir el sistema (1) usando una referencia común, por ejemplo positivo hacia arriba, el sistema se convierte en

$$\left \{\begin{aligned}<br /> T - m_1 g &= m_1 a_1 \\ <br /> T - m_2 g &= m_2 a_2 <br /> \end{aligned}\right .$$

donde estoy asumiendo (eso debería ser parte de mis diagramas de cuerpo libre) que ambos cuerpos de mueven hacia arriba. Fíjate que eso queda evidenciado en las ecuaciones porque las aceleraciones aparecen con el mismo signo que las tensiones. Por supuesto que al resolver el sistema una de las dos aceleraciones deberá resultar negativa. La ecuación que falta para completar el sistema es la ecuación de ligadura, que en este caso sería

$$a_1 + a_2 = 0$$

y que es la ecuación que en definitiva conecta las dos ecuaciones anteriores y que inserta en ellas la condición de que cuando un cuerpo sube, el otro baja una distancia igual.

Si el sistema es simple, como en este caso, y si tienes algo de práctica, reconoces desde el principio la forma en la cual se moverán los cuerpos y que el módulo de sus aceleraciones será el mismo. Vemos en cualquier lado como existen enunciados que hablan de la "aceleración del sistema", como si fuese algo que en verdad existe Entonces tu puedes decidir escribir las ecuaciones usando una sola aceleración (introduciendo implícitamente la condición de ligadura), eligiendo un sentido para esa aceleración (pongamos por ejemplo la de m1) y escribiendo las ecuaciones acordemente:

$$\left \{\begin{aligned}<br /> T - m_1 g &= m_1 a \\ <br /> T - m_2 g &= - m_2 a <br /> \end{aligned}\right .$$

o, siguiendo con la anticipación que nos da la practica, escribimos la segunda ecuación "al revés" para que nos quede mas bonita :

$$\left \{\begin{aligned}<br /> T - m_1 g &= m_1 a \\ <br /> m_2 g - T&= m_2 a <br /> \end{aligned}\right .$$

Si te acostumbras a trabajar de esta manera, es posible que te resulte mas fácil confundirte en un caso mas complejo. Lo ideal sería que te manejaras igualmente bien con cualquiera de las dos formas de trabajar, de modo de no matar pajaritos con cañones pero tampoco dejarse asustar por bichos mas feos.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[VictorBoyle]

Muy buenas.
Al2000, tu reflexión me parece fundamental. Gracias por abrirme los ojos.
Me han surgido dudas similares a las del compañero bruno_uy, y este post me ha resultado de lo más interesante. Siempre tengo problemas a la hora saber si tengo o no que introducir el signo de las incógnitas de las ecuaciones, si eso no está claro incluso un problema simple puede convertirse en un quebradero de cabeza. Sigo teniendo dudas en ejercicios en los que aparecen momentos de fuerzas, velocidades lineales y angulares. Me gustaría encontrar unas pautas que seguir para no confundirme pero no sé si existen; hay varios criterios, y acabo liándome con frecuencia porque yo creo que los mezclo...
Al2000, ¿sabrías decirme algún libro donde encontrar este tipo de información, como la que has dado sobre la máquina de Atwood?
Muchas gracias de antemano.

[Al2000]

Sería mejor si abres un nuevo hilo y discutimos el caso, en lugar de añadir comentarios en un hilo viejo. Podemos discutir el mismo caso planteado en el principio de este hilo o tu podrías escoger un ejercicio que te resulte confuso para analizarlo haciendo énfasis en las "convenciones".

[bruno_uy]

Re: Convención de signos.

Al2000 gracias, por supuesto que me interesa vuestro post. Justamente estaba por compartir mi humilde algoritmo que formé recién:

1) Se toma $y=0$ del sistema de referencia a la altura de la (o las poleas) que esté en el techo.

2) Se asigna sentido positivo a vectores "hacia arriba".

3) Se observa cuales vectores de las fuerzas que actúan sobre las masas tienen sentido positivo y cuales negativo, por ejemplo: En máquina de ATwood $\vec{T_1}, \vec{T_2}$ son (+)
y $m_1\vec{g}, m_2\vec{g}$ son (-). Siendo $\vec{T_i}$ la tensión que actúa sobre $m_i$

4) Los vectores aceleración: $\vec{a}_1$ y $\vec{a}_2$ a priori no sabemos hacia donde apuntan, ya que en sistemas complejos podemos no darnos cuenta como interpretar el movimiento.

Entonces estudiamos la cuerda con el método antes visto, por ej en máquina de ATwood: se llegó a $a_1 = -a_2$
Por tanto sabemos que si suponemos que la $m_1$ sube la $m_2$ bajará.

En el caso mas complejo de la figura del primer post, se llegó a: $a_2 = - (a_1+a_3)/2$ entonces observamos que $\vec{a_2}$ tiene distinto signo que $\vec{a_1}$ y que $\vec{a_3}$, por lo que si suponemos que $m_2$ sube, entonces las otras dos masas bajan (Sin necesidad de usar la imaginación ya tenemos respuesta a como será el movimiento del sistema).

Luego de esto, ya tenemos asignados los signos de todos los vectores, fuerzas y aceleraciones, ya podemos plantear la 2da ley de Newton sin lugar a equivocaciones ni a tener malas interpretaciones.

Lo anterior es algo más informal y menos completo de lo que detallaste pero me sirvió para tener una idea más acertada del tema.
A continuación mejorare mis apuntes con tu último aporte.

Si bien la convención de signos es un tema que los docentes no suelen detenerse mucho, es bueno a veces hacerlo por la cuenta ya que siempre se aprende algo, o se entiende mejor lo que uno está haciendo, al intentar hilar más fino.

Muchísimas gracias.

[Al2000]

Re: Convención de signos.

...por lo que si suponemos que $m_2$ sube, entonces las otras dos masas bajan (Sin necesidad de usar la imaginación ya tenemos respuesta a como será el movimiento del sistema).
...

¿Seguro? ¿Respuesta definitiva?

[bruno_uy]

Re: Convención de signos.

uy, me rectifico, puede haber otras combinaciones.
En realidad la ecuación de ligadura lo que dice es que $a_2$ tiene signo opuesto al vector suma: $\vec{a_1}+\vec{a_2}$, observar que $\vec{a_1}$ y $\vec{a_2}$ tienen la misma direccíon, entonces dependiendo de sus módulos se verá el sentido del vector suma.

Por tanto, entonces, plantear la segunda ley de newton poniendo las aceleraciones como positivas y los signos de las fuerzas según hacia donde apunten, y luego agregar la ecuación de ligadura que se encargará de relacionar los signos de las aceleraciones.. Esto evitaría que sea necesario imaginar el movimiento del sistema para resolver el problema.

- - - Actualizado - - -

Me gustaría para redondear y liquidar este tema comentar un ejercicio que ya hice, e hizo la docente en pizarrón. Les adelanto que se hizo un poco largo el post, sepan disculpar, pero no es mi culpa sino de Newton y de los docentes por hacer que los problemas sean largos.

Espero se entienda la figura casera
La letra dice: El sistema de la figura la superficie horizontal no tiene roce, cuerdas y poleas son ideales. A $m_1$ se le aplica una fuerza horizontal de magnitud F (hacia la izquierda). La cuerda roja esta fija en A. La polea central es móvil.

Entonces aquí, les mostré en la figura el sistema de referencia que me pareció correcto tomar fue las $x$ creciendo hacia la izquierda y las y hacia arriba, con origen en la polea de la esquina. Están de acuerdo con que esto sea lo mejor?
Intentaré hacer el resto (o también traducir lo hecho por docente) en forma detallada en concordancia con lo sugerido en el post de Al2000.

Ecuaciones vectoriales de movimiento
$m_1$)

eje $x$: $\vec{F} + \vec{T_1} = m_1\vec{a_1}$

eje $y$: $\vec{N} + m_1\vec{g} = \vec{0}$

$m_2)$

eje $y$: $\vec{T_2} + m_2\vec{g} = m_2\vec{a_2}$

Polea central)

$\vec{T_1} + 2\vec{T_2} = m_p\vec{a_p} = \vec{0}$ (ya que masa = 0)

Ecuaciones de las componentes:

$m_1$)

eje $x$: $F - T_1 = m_1a_1$

eje $y$: $N - m_1g = 0$

$m_2)$

eje $y$: $T_2 + m_2g = m_2a_2$

Polea central)

$T_1 - 2T_2 = 0$

* hasta aquí el signo de las aceleraciones quedó en principio como positivo, lo cual me queda en la retina como "algo pendiente" por revisar.

Ecuaciones de ligadura:
Nótese que la ecuación de la polea central también es de ligadura, quizás habría que colocarla en esta parte.

Sea: L = largo de cuerda. c = distancia de polea de la esquina hasta punto A.

$y+L_1+L_3 = L$
$x = L_1+L_3$
$x = L_3 + L_2 + c$

Observar que hay dos constantes: $c$ y $L_3$, y cuatro variables: $x,y,L_1,L_2$
Quiero que queden sólo dos variables entonces despejo:
$L = y + L_1+L_2 = y + (x - L_3) + (x - L_3 - c)$

Entonces $L = y + 2(x - L_2) -c$

Esto lo derivo dos veces y obtengo:
$\vec{a_2} + 2\vec{a_1} = 0$
Entonces $a_2 = -2a_1$

Todas estas cuentas fueron hechas con distancias, la otra forma es con coordenadas pero ahí ya no me di cuenta como hacerlo.

Ahora viene la parte definitoria.
Aquí debo sustituir $a_2$ por $-2a_1$ en las ecuaciones de las componentes para eliminar una incóngnita verdad?

Entonces teníamos:

$T_2-m_2g = m_2a_2$
esto es $T_2-m_2g = m_2(-2a_1)$

Me surge la duda porque la profesora escribio: $T_2-m_2g = m_2(2a_1)$ o sea sin signo de menos.

Agradezco cualquier sugerencia para aprolijar lo hecho, ya que hasta ahora es mi mejor forma de hacerlo. Y también cualquier aporte para sacarme esta duda bienvenido sea.

Saludos.

[Al2000]

Re: Convención de signos.

...
$m_1$)

eje $x$: $F - T_1 = m_1a_1$
...

Aquí estás diciendo implícitamente que la dirección positiva de $a_1$ es la misma de $F$, pues ambas aparecen positivas en la ecuación.

...
$m_2)$

eje $y$: $T_2 + m_2g = m_2a_2$
...

Aquí estás diciendo implícitamente que la dirección positiva de $a_2$ es la misma de $T_2$, pues ambas aparecen positivas en la ecuación.

...
Ecuaciones de ligadura:
Nótese que la ecuación de la polea central también es de ligadura, quizás habría que colocarla en esta parte.

Sea: L = largo de cuerda. c = distancia de polea de la esquina hasta punto A.

$y+L_1+L_3 = L$
$x = L_1+L_3$
$x = L_3 + L_2 + c$
...

Aquí te complicaste la vida innecesariamente pues si $L_3$ es constante pudiste llamar $x$ la distancia hasta la polea móvil y no introducir una constante adicional.

Y después de dar mas vueltas que perro antes de echarse, llegamos a

...
Entonces $L = y + 2(x - L_2) -c$

Esto lo derivo dos veces y obtengo:
$\vec{a_2} + 2\vec{a_1} = 0$
Entonces $a_2 = -2a_1$
...

Lo que a todas luces es incorrecto, pues las dos aceleraciones no pueden tener signos opuestos, o ambas son positivas (la fuerza F arrastra los cuerpos hacia la izquierda) o ambas son negativas (el peso del cuerpo 2 arrastra a m1 hacia la derecha).

Y ¿dónde está el error? Pues es el mismo que cometiste antes con la máquina de Atwood venida a menos En mi tierra existe un refrán: La mona, aunque se vista de seda, mona se queda. Puedes usar como nombres $x$ y $y$, pero igual los estás tratando como distancias y al derivar estás obviando el hecho de que cuando $x$ aumenta, $y$ disminuye. Entonces sus derivadas deben tener signos opuestos. La operación debió ser:

$$L = y + 2(x - L_2) -c \quad \Rightarrow \quad 0 = -v_2 + 2 v_1 \quad \Rightarrow \quad 0 = -a_2 + 2 a_1$$

Conclusión... tu profesora tiene la razón.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[bruno_uy]

Re: Convención de signos.

Bien, revisé nuevamente "las" máquinas de ATwood y también este último ejemplo.
En el último mejor hacer como dices, No considerar $L_3$

Y ahora lo escribo en coordenadas: (las $x$ crecian hacia la izquierda y las $y$ hacia abajo)
$x_p$ = coordenada $x$ de polea móvil
$x_A$ coordenada $x$ del punto fijo A
$\left\vert{y} \right\vert{}$ = distancia hasta $m_2$ y como $y< 0$ entonces $\left\vert{y} \right\vert{} = -y$

* en eje x no uso valores absolutos ya que son positivos.

Largo de cuerda = $L = L_1 + L_2 + \left\vert{} y \right\vert{}$ esto es la suma de las distancias.
Ahora paso a coordenadas:

$L = x_p + (x_p - x_A) - y$

O sea: $L = 2x_p(t) - x_A - y(t)$

y ahora si daría: $2a_1 = a_2$

Igual veo que hay que tener cuidado con los signos al pasar de distancias a coordenadas, y que si las $x$ hubieran crecido hacia la derecha se complicaba un poco más. De cualquier manera como dices salta a la vista si te equivocas.

[Al2000]

Re: Convención de signos.

Si el eje Y va hacia abajo, entonces $y$ no es negativo, la longitud de la cuerda es $L = x_p + (x_p - x_A) + y$ y la ligadura es que $2 a_1 = - a_2$. También tendrías que cambiar la ecuación en Y para reflejar correctamente la dirección positiva (hacia abajo) y la ecuación quedaría $m_2 g - T_2 = m_2 a_2$. Fíjate que en este caso las aceleraciones tienen que tener signos opuestos.

Saludos,

$\mathcal A \ell$