Otras carreras Mecánica Clásica. Movimiento en una dimensión.

[Visitante]

Hola muy buenas (resumo el post porque el anterior recibió una infracción por no hacer un buen uso de las imágenes adjuntas y supongo que se borrará en breve), tengo aquí unas dudas muy grandes con mecánica clásica. Voy a adjuntar primero uno de los ejercicios con los que tengo problemas:

Realiza un análisis cualitativo de los posibles movimientos de una partícula de masa m que se mueve en una dimensión sometida a la fuerza $F(x)=-frac{mk}{x^2}$

Bien, la parte del cálculo de la ecuación de la energía la tengo clara el resultado es: $v^2=2k(a+\frac{1}{x})$ siendo "a" una constante que despejo de la función original que toma el valor de $a=\frac{v_0^2}{2k}-\frac{1}{x_0}$. Tanto $v_0$ como $x_0$ serían valores dados y nosotros lo que tendríamos que hacer es estudiar para a=0, a<0 y a>0 como se movería la partícula teniendo en cuanta que depende de $v_0$ y $x_0$.

Ahora bien, voy a poner un ejemplo, mi profesor en la solución pone: "Para a>0, (x_0>0; v>0) la partícula tiende a + infinito y su velocidad tiende a un valor cte" y así para a=0 y a<0. Si a alguien considera que le sería de ayuda puedo transcribir la solución completa en un post siguiente.

Alguien tiene idea de cómo se puede llegar a estas conclusiones? En los apuntes tengo una breve explicación pero sigo sin entender como llega a todo el análisis que él ha hecho (esta también podría transcribirla). Muchas gracias de antemano y un saludo.

[Richard R Richard]

Bien, la parte del cálculo de la ecuación de la energía la tengo clara el resultado es: $v^2=2k(a+\frac{1}{x})$ con $a=\frac{v^2}{2k}-\frac{1}{x_0}$.

Algo raro tienes allí $v^2$ es función de $a$ y $a$ es funcion de $v^2$ revisa tu enunciado

Realiza un análisis cualitativo de los posibles movimientos de una partícula de masa m que se mueve en una dimensión sometida a la fuerza $F(x)=-mkx^2$

de nuevo revisa que no sea $F(x)=-\dfrac mk x^2$

pues esta es la ecuación diferencial que rige el movimiento armónico simple de un muelle de constante elástica $k$ en la que oscila una masa $m$

https://es.wikipedia.org/wiki/Movimi...%B3nico_simple

[Alriga]

... revisa que no sea $F(x)=-\dfrac mk x^{\cancel 2}$

pues esta es la ecuación diferencial que rige el movimiento armónico simple de un muelle de constante elástica $k$ en la que oscila una masa $m$

https://es.wikipedia.org/wiki/Movimi...%B3nico_simple

Aquí al compañero Richard se le ha escapado un gazapo, en la expresión de la fuerza del movimiento armónico simple la "x" no está al cuadrado. De todas maneras, ¿estás segura? que la expresión de la fuerza en el enunciado es

$F(x)=-mkx^2$

¿No será? por ejemplo $F(x)=-mk/x^2$

Lo que yo haría en este ejercicio:

$F=-m k x^2=m a$

$\ddot x=-k x^2$

$a=\ddot x=\dfrac{d^2x}{dt^2}=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dv}{dx} \cdot v$

Luego

$\dfrac{dv}{dx} \cdot v =- k x^2$

Ecuación diferencial en variables separadas

$v \ dv=-k \ x^2 \ dx$

Integrando

$\dfrac{v^2}2=-k \dfrac{x^3}3+C_1$

$v=\sqrt{-\dfrac 2 3 \ k \ x^3+c}$

Ahora como:

$v=\dfrac{dx}{dt}$

$dt=\dfrac{dx}{\sqrt{-\dfrac 2 3 \ k \ x^3+c}}$

$\dst t+C=\int \dfrac{dx}{\sqrt{-\dfrac 2 3 \ k \ x^3+c}}$

Ahora hay que integrar, despejar la x en función del tiempo y derivarla 2 veces para obtener la aceleración. Lo malo es que esta integral no tiene primitiva expresable mediante funciones simples, por lo que esto es un callejón sin salida, espero que al menos te sea útil para ver como actuar en otros ejercicios similares en los que sí exista la primitiva.

Enfocando por otro lado, como la fuerza es:

$\vec F=(-mkx^2) \ \hat i+0 \ \hat j +0 \ \hat k$

Si calculamos su rotacional vemos que es cero, por lo tanto deriva de un potencial:

$\vec F=-\nabla U$

$-m k x^2=-\dfrac{\partial U}{\partial x}$

$U=\dfrac{m k}3 x^3+C$

Pero tampoco veo como calcular la aceleración a partir del potencial.

... la parte del cálculo de la ecuación de la energía la tengo clara el resultado es: $v^2=2k(a+\frac{1}{x})$ con $a=\frac{v^2}{2k}-\frac{1}{x_0}$

¿Cómo obtienes eso?

Espero haber ayudado en algo, saludos

[Richard R Richard]

Comparto el desarrollo y tu corrección .

la aceleración en ausencia de otras fuerzas sale por la segunda ley de Newton
F=ma por lo que la ecuación diferencial sale directa, Habrá una oscilación no un MAS,,siempre y cuando las condiciones de contorno sean v\neq0 en el origen o x\neq0

[Visitante]

Disculpad chicos, voy a revisar el enunciado por las variables que me comenta Richard, porque puede que se me haya escapado algún $x_0$ o $v_0$ ósea que tendríamos que considerar que son valores dados, la función no depende de ellos. En cuanto a la "a" ha sido un error mío y quizá debí haberlo especificado, a es una constante que despejo de la ecuación de la energía para obtener una función más simple, he usado esta letra como constante porque es la misma que ha estado usando, disculpad debí haberla nombrado c para evitar conclusiones. Dicho esto, lo que hay que hacer no es un cálculo al uso, como el valor a es una constante que depende de la posición inicial y la velocidad inicial, hay que estudiar cómo se moverá la partícula en cuestión según los diferentes valores de "a". Voy a revisar las expresiones del enunciado por que es muy probable que haya metido la pata y lo único que en este caso para evitar confusiones de más gente que pueda compartir opiniones en el foro dejaré la constante a.

Gracias y os ruego disculpas, procedo a corregir el enunciado. Un saludo

[Visitante]

POST DE AMPLIACIÓN

Procedo a incluir aquí tanto la teoría de los apuntes sobre este asunto como la solución completa del ejercicio en cuestión.

TEORÍA.

Es posible obtener información cualitativa de la solución sin necesidad de resolver esta última integral mediante un análisis de la función f(x).

- La ecuación horaria de la trayectoria obtenida nos dice que solo es posible movimiento para valores de x que cumplan $f(x)>= 0$.
- Los valores x=a para los que f(a)=0 son puntos de parada, puntos donde la velocidad es nula.
- Será necesario conocer cómo es la aceleración en los puntos de parada. Ésta se obtiene derivando con respecto al tiempo la expresión $v^2=f(x)$ para obtener $2x''=f'(x)$ (x''=aceleración) . Así, si la derivada de la función f(x) es distinta de cero en un punto de parada x = a indica que, aunque la velocidad sea nula en ese punto, la aceleración es distinta de cero y la partícula no permanecerá en ese punto.
- Será interesante analizar el tiempo que tarda la partícula en alcanzar estos puntos de parada a través de la integral $\int_{x_0}^{a} \frac {dx}{\sqrt{ f(x)}}= t-t_0$
Podemos analizar la convergencia o divergencia de esta integral a través de un resultado del análisis matemático que se fundamenta en la expresión $lim \frac{(x-a)^(\alpha)}{\sqrt{f(x)}}=k$ cuando este tiende a "a". Se trata de buscar el valor de $\alpha$ para el que este límite es distinto de cero o infinito. Si su valor es menor que 1 la integral es convergente mientras que si su valor es mayor o igual que 1 la integral es divergente. Alternativamente, y si el problema lo requiere, se puede evaluar $lim \frac{(x-a)^(\alpha)}{f(x)}=k$. En este caso, si $\alpha$ es menor que 2 la integral es convergente mientras que si es mayor o igual a 2 es divergente. (En los límites (x-a) está elevado a $\alpha$ que en la compilación de LaTex no se aprecia muy bien).

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA SEGÚN EL PROFESOR.

Para a>0
- Si [$x_0>0; v_0>0$] la partícula tiende a + infinito y su velocidad tiene un valor constante.
-SI [$x_0>0; v_0<0$] la partícula tiende a 0 incrementando su velocidad y tarda un tiempo finito en alcanzar x=0.

Para a=0
- SI [$x_0>0; v_0>0$] la partícula tiende a + infinito y su velocidad tiende a cero.
- SI [$x_0>0; v_0<0$] la partícula tiende a cero incrementando su velocidad y tarda un tiempo finito en alcanzar x=0.

Para a<0
- SI [$x_0>0; v_0>0$] la partícula tiende a x=$\frac{-1}{a}$, lo alcanza en un tiempo finito, invierte su sentido y tiende hacia cero incrementando su velocidad y tarda un tiempo finito en alcanzar x=0.
- Si [$x_0>0; v_0>0$] la partícula tiende hacia cero incrementado su velocidad y tarda un tiempo finito en alcanzar x=0.

Entiendo que la función es una parábola y por eso toma esos valores, pero no sé como, partiendo de las premisas anteriormente mencionadas puedo llegar a esas conclusiones. Un cordial saludo y espero que este post aclare algo las cosas. Muchas gracias