Trabajo realizado por dos fuerzas a lo largo de un camino circular

[Like Tony Stark]

"Las fuerzas constantes $F1=40 N$ y $F2=150 N$ (la cual forma un ángulo constante de $\pi/6$ respecto de la horizontal) arrastran un anillo a lo largo de un alambre doblado en forma de semicírculo de radio $R$. Calcular el trabajo realizado por cada fuerza para llevar el anillo de $A$ a $B$ y de $A$ a $C$, y el trabajo neto en cada tramo. "

Hola a todos
El trabajo realizado por $F_1$ será la integral entre $\theta_0$ y $\theta_f$ de $F_1.R.d \theta$, donde los $\theta$ denotan el ángulo polar. Es posible calcular el trabajo de esta manera porque $F_1$ es tangente a la trayectoria.
Μi duda es para el trabajo de $F_2$, porque esta no es tangente a la trayectoria, y su componente tangencial cambia porque el ángulo que forma con la tangente varía para que este sea constante respecto de la horizontal.

[Eludio]

Te paso el diagrama con el valor del módulo de la fuerza₂ tangencial en función del ángulo de giro.

[JCB]

Hola a tod@s.

Había hecho algo similar a Eludio, aunque no estoy seguro:

Considero una posición del anillo con un ángulo recorrido $\theta$. La componente tangencial de $F_2$ es

$F_{2t}=F_2\sin(\theta-\beta)$, siendo $\beta=\dfrac{\pi}{6}$.

$W_2(AC)=\dst\int F_2dl=\dst\int_{0}^{\pi}F_{2t}Rd\theta=\dst\int_{0}^{\pi}F_2\sin(\theta-\beta)Rd\theta=F_2R\dst\int_{0}^{\pi}\sin(\theta-\beta)d\theta$,

$W_2(AC)=F_2R\dst\int_{-\beta}^{\pi-\beta}\sin(u)du=-F_2R\left(\cos(\pi-\beta)-\cos(-\beta)\right)$,

$W_2(AC)=\sqrt{3}F_2R$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Eludio]

$w = \int_{\theta_0}^{\theta_f} (F_1+F_2\sin({\theta-\dfrac{\pi}{6}}))R d\theta$

NOTA: Mientras escribía esto (soy lento con Latex), apareció tu respuesta sin haberla visto.....

[JCB]

Entonces, parece que iba por buen camino

[Eludio]

Hemos hecho exactamente el mismo planteamiento, espero que no estemos los dos equivocados... xD.

[JCB]

Hola a tod@s.

Sobre $W_1$ no había escrito nada, pues es trivial, no hace falta integrar:

$W_1(AC)=F_1L=F_1\pi R$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Eludio]

Pues la fórmula que puse es el trabajo total y resulta que te piden el trabajo de cada fuerza por separado....

[JCB]

Bueno, eso ya son pequeños detalles.

[Eludio]

De todos modos, me parece a mí que el anillo no se mueve en la sección indicada, pues al inicio, F2 es mayor que F1 y en sentido contrario..... si actúan ambas
a la vez, que quizás no sea el caso.

Si actúan por separado, solo F1 hará el recorrido dibujado.

Igual están equivocados los datos y es F1=150 y F2=40....

[JCB]

De todos modos, me parece a mí que el anillo no se mueve en la sección indicada, pues al inicio, F2 es mayor que F1 y en sentido contrario..... si actúan ambas
a la vez, que quizás no sea el caso.

Si actúan por separado, solo F1 hará el recorrido dibujado.

Ni me había dado cuenta de eso

[Eludio]

Yo tampoco, hasta ahora. Casi seguro que los datos están al revés.

[Al2000]

Una forma simple de hacer los cálculos es apoyarse en la constancia de las fuerzas. Noten que si una fuerza es constante, entonces

$$W_{AB} = \int_{A}^{B}\!\! \boldsymbol F \boldsymbol \cdot d \boldsymbol r = \boldsymbol F \boldsymbol \cdot \int_{A}^{B}\!\! d \boldsymbol r = \boldsymbol F \boldsymbol \cdot \boldsymbol r_{AB}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

En el caso de F2, la componente que hace trabajo es la tangencial. Aún no veo como se puede simplificar el cálculo que hice anteriormente.

[Al2000]

¿Te sirve $W_{2,AB} = (F_2)(\sqrt 2 R) \cos 75^\circ$?

[Eludio]

Pues es verdad! Mucho más fácil así!

[JCB]

Hola a tod@s.

Al2000: quizás yo tenga una dificultad de interpretación. He interpretado que $F_2$, también es constante en dirección y sentido, es decir, que el ángulo de $30^{\circ}$ con la horizontal, se mantiene durante todo el recorrido.

Saludos cordiales,
JCB.

[Eludio]

Por eso podemos sacar el vector F2 de la integral. En cambio, con F1 no podríamos hacerlo (no es un vector constante, cambia de dirección) si consideramos que es tangencial a la trayectoria siempre. Afortunadamente, como bien dijiste, el caso de F1 es directo.

[JCB]

Hola a tod@s.

$W_2(AB)=\dst\int F_2dl=\dst\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}F_{2t}Rd\theta=\dst\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}F_2\sin(\theta-\beta)Rd\theta=F_2R\dst\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(\theta-\beta)d\theta$,

$W_2(AB)=F_2R\dst\int_{-\beta}^{\frac{\pi}{2}-\beta}\sin(u)du=-F_2R\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\beta\right)-\cos(-\beta)\right)$,

$W_2(AB)=\left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\right)F_2R$.

Me da el mismo resultado que el de Al2000, pero no sé si ha llegado a él, de la misma manera, ni de dónde sale su $\sqrt{2}\cos75^{\circ}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

si $F_1$ es tangencial a la circunferencia

$W_{1}=\dst \int_{\theta_i}^{\theta_f}=|F1|R d\theta=|F_1|R(\theta_f-\theta_i)$

y

$W_{2}=\dst \int_{\theta_i}^{\theta_f}=|F2|R \sin(\theta-\dfrac{\pi}{6}) d\theta=-|F_2|R\left(\cos(\theta_f-\dfrac{\pi}{6})-\cos(\theta_i-\dfrac{\pi}{6})\right)$

$W_T=W_{1}+W_{2}$

$W_{AB}=40 R (\pi/2-0)-150 R (\cos(\pi/3)-\cos(-\pi/6))=R(20\pi +75(\sqrt 3-1))\, N$

$W_{AC}=40 R (\pi-0)-150 R (\cos(\frac 56\pi-\cos(-\pi/6))=R(40\pi +150\sqrt 3)\, N$

[Al2000]

JCB: $\sqrt 2 R$ es la magnitud del vector desplazamiento de A -> B y los 75° (30° + 45°) es el ángulo entre los dos vectores.

Eludio: Del enunciado yo interpreto que la fuerza F1 también es constante, lo cual dejaría pendiente el ubicar la dirección de esa fuerza. Si lo que dice el enunciado es que la magnitud de la fuerza F1 es constante y se debe interpretar a partir del dibujo que su dirección es tangente a la trayectoria en todo momento, entonces el trabajo se calcula incluso mas simple, pues será la magnitud de la fuerza por la distancia recorrida, $W_{1,AB} = (F_1)(\frac \pi 2 R)$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Eludio]

El enunciado es confuso. Dice fuerzas constantes pero podría referirse solo al módulo, pero si las fuerzas son Vectores constantes (no solo módulo) ¿por qué especifica "la cual forma un ángulo constante de respecto de la horizontal"? Parece redundante. Confuso. Por eso digo "si consideramos que es tangencial" como también estima el que inició el hilo. En fin, si es de dirección fija, pues se aplica tu integral vectorial y resuelto también... (más fácil que con nuestras integrales escalares) xD

[Al2000]

Je je, me acabo de dar cuenta que no fuiste tu quien inició el hilo Eso me pasa por leer por encimita...

[Richard R Richard]

"Las fuerzas constantes $F1=40 N$ "

Podría tener módulo dirección y sentido constante, pero al aclarar

y $F2=150 N$ (la cual forma un ángulo constante de $\pi/6$ respecto de la horizontal)

esta si tiene módulo dirección y sentido constante( esto último visto en el dibujo).

luego como en el gráfico también ve que F1 es tangencial,... y que podría solo tener módulo constante ,pero solo es interpretación no esta escrito en ningún lado .

a menos que se hayan comido las "s" "es" y "n" pues dice

"Las fuerzas constantes

en plural entonces podría leerse

Las fuerzas constantes $F1=40 N$ y $F2=150 N$ (las cuales forman un ángulo constante de respecto de la horizontal)

pero creo que se refiera a una sola.

[Like Tony Stark]

Hola a todos
El enunciado dice que la fuerza F1 es siempre tangente al círculo, y su módulo es constante. Por eso considero que el trabajo realizado por esa única fuerza es el producto entre su módulo, el radio y el ángulo barrido.
Respecto de la fuerza F2, su módulo también es constante, pero, por lo que entiendo de la consigna, en todo momento forma un ángulo de 30° con el eje horizontal.