1r ciclo Ejercicio sobre trabajo, demostración.

[bruno_uy]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Un objeto de masa m acelera uniformemente desde el reposo hasta una velocidad $v_f$ en el tiempo $t_f$
(a) Demuestre que el trabajo efectuado sobre el objeto, como una función del tiempo t en términos de $v_f$ y de $t_f$ es:

$W = (1/2)m(v^2_f/t^2_f)t^2$

Entonces hago lo siguiente:

$W = \displaystyle\int_{0}^{t}\vec{F}.d\vec{r}$

Tenemos que: $\vec{F} = m\vec{a} = m(d\vec{v}/dt)$

Y también que: $\vec{v} = d\vec{r}/dt$

Entonces:

$W = \displaystyle\int_{0}^{t}\vec{F}.d\vec{r} = \displaystyle\int_{0}^{t}m (d\vec{v}/dt).d\vec{r} = m \displaystyle\int_{0}^{t}d(\vec{v}.\vec{v})$

Tengo que: $\vec{v}.\vec{v} = v^2$ siendo $v$ el módulo de la velocidad.

Entonces llegué a:

$W = m \displaystyle\int_{0}^{t}d(v^2)$

En primer lugar más allá de si lo que hice está bien me interesa saber:
Cómo se calcula: $d(v^2)$ ??

Y luego, con dicho calculo hecho, si no se vislumbra el camino a seguir, agradezco cualquier sugerencia.

[Al2000]

Re: Ejercicio sobre trabajo, demostración.

$d(v^2) = 2 v\, dv$ Seguro ya lo sabías...

Ahora, lo que pusiste en tu penúltima ecuación no es correcto: $\dst \frac {d \vec v}{dt} \cdot d \vec r = \vec v \cdot d \vec v = \frac 1 2 d(v^2)$

con lo cual demuestras el teorema del trabajo y la energía cinética.

Ahora, si tienes ya demostrado que $\dst W = \frac 1 2 m v^2$, lo único que faltaría por decir es que por ser un movimiento uniformemente acelerado partiendo del reposo, $a = v_f/t_f$ y por lo tanto $v = a t = (v_f/t_f) t$. ¿Te parece?

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[bruno_uy]

Re: Ejercicio sobre trabajo, demostración.

jaja lo de la derivada me hizo reir en primera instancia, pero después me tuvo rato pensando/repasando lo que era el diferencial y como despejarlo, etc, lo cual es productivo xq se va aclarando de poco, y termine de entender la partecita de la demostración del teorema de trabajo y energía que no me cerraba.

sólo una cosa que me confunde un poco.

En un momento se llega a que:

$W = m/2 \displaystyle\int_{0}^{t}dv^2$ aplicando regla de barrow, como se escribe de manera rigurosa el resultado? Algo así como:

$W = m/2 \displaystyle\int_{0}^{t}dv^2 = (m/2)v^2(t)$ o sea, esa velocidad que aparece es un módulo, porque nació en un producto escalar no puede ser un vector, a parte de que el trabajo es una cantidad escalar, pero es una función del tiempo igual? me confunde un poco el hecho de que haya perdido el vector pero no la esencia, por decirlo así


entonces luego seguiría:

$W = (m/2)v(t)v(t) = (m/2) at at = (m/2) t^{2} v^2_{f}/t^2_{f}$

[Al2000]

Re: Ejercicio sobre trabajo, demostración.

...
En un momento se llega a que:

$W = m/2 \displaystyle\int_{0}^{t}dv^2$ aplicando regla de barrow, como se escribe de manera rigurosa el resultado? Algo así como:
...

Es preferible si desambiguas la expresión y escribes $d(v^2)$; tampoco es bueno que quieras ahorrar tipeo escribiendo $\dst m/2 \int \cdots$, pues lo que estás escribiendo significa $\dst \frac m {2 \int \cdots }$.

Bueno, el asunto es que $\dst \int d(cualquiercosa) = cualquiercosa$. Entonces $\dst \int d(v^2) = v^2$ y al sustituir los límites tendrías que

$$W = \frac 1 2 m \int_{v_0}^{v}\!\! d(v^2) = \frac 1 2 m (v^2 - v_0^2)$$

...
entonces luego seguiría:

$W = (m/2)v(t)v(t) = (m/2) at at = (m/2) t^{2} v^2_{f}/t^2_{f}$

Lo que resta es cuestión de estilo. Luego de establecer que, según las condiciones del problema, $v_0 = 0,\,\, v = a t,\,\, a = v_f/t_f$, queda que

$$W = \frac 1 2 m (v^2 - v_0^2) = \frac 1 2 m a^2 t^2 \quad \Rightarrow \quad \boxed {W = \frac 1 2 m (v_f^2/t_f^2) t^2}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$