Problema de dinamica

[Malma88]

Buenas tardes y gracias de antemano, tengo que hacer este ejercicio para clase y me lleva un rato comiendo la cabeza:

Se dispone de un coche de masa M cuyo parabrisas forma un ángulo de 30o con la horizontal. Sobre el mismo se coloca un bloque de masa m, siendo el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y el vidrio que conforma el parabrisas uE = 0,5. ¿cual es la aceleración máxima y aceleración mínima que ha de tener el coche para que el bloque no deslice sobre el parabrisas?

Creo que lo que debería de averiguar lógicamente seria la Froz. min y max para así averiguar entre que dos fuerzas el bloque no se mueve. Pero al tratarse de un plano inclinado me cuesta descifrar cuales son las fuerzas que actúan sobre el bloque (en especial las fuerzas que se dibiden eje x y eje y). Si pudieran darme una pista para empezar ha hacer el ejercicio sería de mucha ayuda. ¡Gracias !

[Eludio]

Un posible planteamiento sería (aunque no te fíes mucho, pues hace mucho, muchísimo tiempo que no hago problemas de estos....):

Despreciando el aire y desde el punto de vista de un observador en el plano inclinado, el cuerpo de masa m experimenta dos fuerzas: La fuerza de la gravedad vertical hacia abajo $m\vec{g}$y una fuerza ficticia horizontal hacia atrás $m\vec{a}$ debida a la aceleración $\vec{a}$ del coche. Descompones el peso y la fuerza ficticia en sus componentes normales y tangenciales al plano inclinado. Con la suma de las normales calculas la fuerza de rozamiento y analizas los casos limite del total de fuerzas tangenciales (la de rozamiento y las dos anteriores): El cuerpo se va hacia abajo del plano inclinado (poca aceleración) o hacia arriba (demasiada aceleración).

OOPS, al editar he duplicado el mensaje (el primero medio borrado)....sorry

[JCB]

Hola a tod@s.

He tenido la misma idea que Eludio. Cabe también comprobar si el descenso se puede producir de forma espontánea (con el coche en reposo): como $\mu=0,5<\tan\theta=0,58$, se confirma la espontaneidad del descenso, por tanto la aceleración mínima debe ser, también, en el sentido de la marcha del coche.

Con este planteamiento,

1) Aceleración mínima en el descenso inminente.

$-mg\sin\theta+\mu(mg\cos\theta+ma\sin\theta)+ma\cos\theta=0$,

$a_{\text{mín.}}=\dfrac{g(\sin\theta-\mu\cos\theta)}{\mu\sin\theta+\cos\theta}=0,59\ m/s^2$.

2) Aceleración máxima en el ascenso inminente.

$-mg\sin\theta-\mu(mg\cos\theta+ma\sin\theta)+ma\cos\theta=0$,

$a_{\text{máx.}}=\dfrac{g(\sin\theta+\mu\cos\theta)}{\cos\theta-\mu\sin\theta}=14,84\ m/s^2$.

Nota: espero haber borrado a tiempo (y que nadie haya leído), un primer mensaje erróneo.

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Otro planteamiento, por lo que pueda valer contrastar varias maneras. Perdón si cambio los nombres de un par de valores, pero me voy a apoyar con un gráfico pre-existente:



Ya que la idea es que el bloque no se mueva, resulta mas sencillo a mi modo de ver tomar los ejes coordenados en forma convencional horizontal-vertical. Para la primera situación, las ecuaciones serían

-- Dirección horizontal: $\dst N \, \mathrm {sen} \, \beta - f \cos \beta = M a$

-- Dirección vertical: $\dst N \cos \beta + f \, \mathrm {sen} \, \beta - M g = 0$

Resolviendo para $N$ y $f$ en función de $a$, se obtiene

$$<br /> \left \{\begin{matrix}<br /> N = (g \cos \beta + a \, \mathrm {sen} \, \beta ) M \\<br /> f = (g \, \mathrm {sen} \, \beta - a \cos \beta ) M<br /> \end{matrix}\right .<br />$$

Pero $f \leqslant \mu_s N$, por lo cual

$$g \, \mathrm {sen} \, \beta - a \cos \beta \leqslant \mu_s (g \cos \beta + a \, \mathrm {sen} \, \beta )$$

y operando para aislar $a$, tenemos que

$$a \geqslant \frac {\, \mathrm {sen} \, \beta - \mu_s \cos \beta }{\cos \beta + \mu_s \, \mathrm {sen} \, \beta } g = \frac {\tan \beta - \mu_s}{1 + \mu_s \tan \beta }\, g$$

Para la segunda situación, las ecuaciones son similares pero cambiando el signo de la fuerza de fricción. Haciendo los mismos pasos, se llega a

$$a \leqslant \frac {\tan \beta + \mu_s}{1 - \mu_s \tan \beta }\, g$$

O, combinando las dos expresiones, se llega a

$$\boxed {\frac {\tan \beta - \mu_s}{1 + \mu_s \tan \beta }\, g \leqslant a \leqslant \frac {\tan \beta + \mu_s}{1 - \mu_s \tan \beta }\, g}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Eludio]

No se ve el gráfico.

¡Muy lograda la solución general!

NOTA: Aunque en la fórmula final no aparece, aclarar que aquí la M mayúscula corresponde a la m minúscula del enunciado.

[Al2000]

En realidad la expresión final no es absolutamente precisa habría que añadir que el denominador de la segunda desigualdad debe ser positivo; caso contrario la aceleración no tiene un límite superior.