Secundaria Plano inclinado en elevador.

[Diego117]

Buen día, este problema me está dando ciertas complicaciones, no podía hacerlo y tuve que ver la respuesta, el inconveniente es que no logro entender el porque de esa respuesta y como se llega allí, les agradecería mucho su ayuda!

Problema:

Un bloque de masa m se desliza abajo en un plano inclinados sin fricción que forma un ángulo \theta (teta) con el piso de un elevador. El elevador desciende con aceleración a con respecto a Tierra.

a) Halle la aceleración total con respecto a tierra de la masa.
b) Y la aceleración con respecto al plano.

Muchas gracias por su aporte! Saludos!

[Richard R Richard]

Re: Plano inclinado en elevador.

Hola, sabes que el plano se acelera con aceleración $a$ por lo que la aceleración de la masa si cayera en caída libre sería $g-a$ con respecto al plano, pero como la masa desliza sobre el plano se ve afectada por el seno del angulo $\theta$

entonces la aceleración de la masa con respecto al plano es $a_p=(g-a)\sin \theta$

luego para saber cual es la aceleración con respecto a la tierra debes sumarle la aceleración del plano con respecto a la tierra

$a_t=a+(g-a)\sin \theta=g\sin\theta+ a(1-\sin\theta)$

[Diego117]

Re: Plano inclinado en elevador.

Muchas gracias!

Entonces se puede decir que si tengo una aceleración de una partícula con respecto a un marco de referencia y este marco a su vez se acelera con respecto a tierra la aceleración de la partícula con respecto a tierra es la suma vectorial de la propia partícula con respecto al marco con la del marco de referencia? (al igual que con las velocidades relativas.)

Y también no entiendo por que en el segundo inciso se suma la aceleración del elevador de una forma escalar, la aceleración del bloque con respecto al plano inclinado (supongo) es paralelo al mismo plano mientras que la aceleración elevador es vertical totalmente, no se debería de hacer una suma vectorial o algo por el estilo?

Saludos y nuevamente gracias!

[felmon38]

Re: Plano inclinado en elevador.

Diego, si tu marco de referencia se traslada respecto de la tierra, puedes comprobar, derivando las cordenadas de la partícula respecto de la Tierra, que, efectivamente, la aceleración de la partícula respecto de la Tierra es la suma vectorial de la aceleración de la partícula respectio del plano inclinado más la del plano inclinado respecto de la Tierra. Sin embargo si el plano imclinado girase respecti de la Tierra, la cosa se complica y no se cumple esa relación, apareciendo otro término, llamado la aceleración de Coriolis,
Naturalmente se trata de una suma vectorial de los dos vectores aceleración.

[visitante20160513]

Re: Plano inclinado en elevador.

El enunciado es confuso porque no indica si el plano inclinado está fijo al elevador o cae libremente también. Debe pensarse que esta sujeto al elevador, pero el enunciado no lo indica.

1).- Si lo está y la aceleración fuera mayor que la de la gravedad entonces la masa $m$ no deslizaría por el plano inclinado sino que caería en caída libre y su aceleración relativa con respecto al plano sería $a-g$.

2).- Si no lo esta y la aceleración es mayor que la de la gravedad entonces ambos objetos, plano y masa, caerían en caída libre y su aceleración relativa sería nula.

Por lo tanto debe contemplarse también el caso de que $a>g$ aunque a primera vista pudiera pensarse que el enunciado quiere indicar que el plano inclinado está fijo al elevador y por lo tanto desciende con aceleración $a$ y además dicha aceleración es menor que la gravedad para que la masa $m$ pueda deslizar por él. En ese caso podemos razonar la respuesta en la forma que lo hizo Richard.

Salu2, Jabato.

[Richard R Richard]

Re: Plano inclinado en elevador.

Muchas gracias!

Entonces se puede decir que si tengo una aceleración de una partícula con respecto a un marco de referencia y este marco a su vez se acelera con respecto a tierra la aceleración de la partícula con respecto a tierra es la suma vectorial de la propia partícula con respecto al marco con la del marco de referencia? (al igual que con las velocidades relativas.)

aunque ya te lo han aclarado,efectivamente es una suma vectorial, yo apunte a que no sabía de donde salian los valores de los módulos de las aceleraciones.

llamamos eje x al horizontal con el lado positivo a favor de la pendiente e y al vertical positivo hacia arriba , entonces la aceleración
$\vec{a_m}=\vec g+\vec {a_p}$

en el eje x es $g_x+a_{px}=0+(g-a)\cos \theta$

en el eje y es $g_x+a_{py}=-a-(g-a)\sin \theta$

observa que si la aceleración del ascensor es igual a la dela gravedad, el ascensor en caida libre, la masa no cae por el plano.

y para el b que es resolver lo mismo en un sistema de referencia no inercial

lo primero que debes notar es que si el plano se acelera en la misma dirección que la gravedad, cual quier observador solidario a este sistema de referencia notara que la gravedad es menor justamente en el valor de la acelerción es decir un cuerpo en caida libre tiene una aceleración de


$\vec g =\vec {g_{obs}}+\vec a$

por lo que $\vec {g_{obs}}=\vec g -\vec a$ cualquier objeto esta sometido a una aceleración de la gravedad menor, y las componentes de esa aceleración segun en plano inclinado seran

en el eje x es $g_{obs}\cos \theta=(g-a)\cos \theta$

en el eje y es $g_{obs}\sin \theta=-(g-a)\sin \theta$


El contenido de este post es erroneo como se vera mas adelante

[Diego117]

Re: Plano inclinado en elevador.

Muchas gracias, sólo me quedaría la duda de que valor de la aceleración obtendría al hacer sumatoria de fuerzas (la fuerza normal y el peso) y aplicar la segunda ley de Newton sobre la masa m, obtendría su aceleración con respecto a tierra?

[felmon38]

Re: Plano inclinado en elevador.

Diego, la aceleración sería respecto de un sistema inercial, el Sol. Si la suma de la aceleración relativa del punto de la Tierra que coincide con la partícula más la aceleración de Coriolis es despreciable frente al valor de la aceleración calculada, entonces se podrá considerar que la Tierra se comporta como un sistema inercial, por lo que la aceleración calculada sería también la aceleración respecto de la Tierra.
Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: Plano inclinado en elevador.

Hola, Diego

Con respecto al elevador me resulta un valor de: $a_e=(g-a)\sin \theta$ (modulo)

Con respecto a la tierra me resulta:$a_t=\dst\sqrt{g^2 \sin^2 \theta +a^2 \cos^2 \theta}$ (modulo)

La componentes son: $\vec{a_t}=\hat{\imath}(g-a)\sin \theta \cos \theta -\hat{\jmath}(a+(g-a)\sin^2 \theta)$ (componentes vectoriales)

saludos

[Richard R Richard]

Re: Plano inclinado en elevador.

Hola, Diego

Con respecto al elevador me resulta un valor de: $a_e=(g-a)\sin \theta$ (modulo)

Perdon Diego, me tome tiempo para ver lo que afirmaba Jose y esta en lo cierto. Es la aceleración sobre el plano en direccion paralela al plano no en la vertical.No considere bien como descomponer las aceleraciones en el eje x e y que son

La componentes son: $\vec{a_t}=\hat{\imath}(g-a)\sin \theta \cos \theta -\hat{\jmath}(a+(g-a)\sin^2 \theta)$ (componentes vectoriales)

si las componentes son correctas deberias resolver $|a_t|=\sqrt{((g-a)\sin \theta \cos \theta )^2+((a+(g-a)\sin^2 \theta)^2}$

he revisado para ver si es correcto

Con respecto a la tierra me resulta:$a_t=\dst\sqrt{g^2 \sin^2 \theta +a^2 \cos^2 \theta}$ (modulo)

y lo es Gracias Jose

[visitante20160513]

Re: Plano inclinado en elevador.

Vamos a ver, parece que un problema sencillo está provocando demasiadas dudas. Tomemos referencia en el elevador (no inercial) con un sistema de coordenadas cuyo eje Y apunta hacia abajo, y tendremos que las fuerzas que actúan son el peso, la reacción normal del plano inclinado y la inercia, (dado que el sistema referencial no rota la inercia se obtiene solo como consecuencia de la aceleración del elevador) teniendo estas tres fuerzas en cuenta podemos aplicar la segunda ley de Newton:

$m\mathbf g+\mathbf N-m\mathbf a=m\mathbf a_e$

que proyectada sobre la dirección tangencial al plano inclinado resulta:

$gSen(\theta)-aSen(\theta)=(g-a)Sen(\theta)=a_e$

en la que $a_e$ es la aceleración tangencial de la masa $m$ desplazándose por el plano inclinado. Es decir es la aceleración respecto al plano inclinado. Resulta evidente que la componente normal al plano inclinado se anula.

Respecto al sistema tierra la aceleración es la composición de las aceleraciones, es decir la suma vectorial de la aceleración respecto del plano mas la aceleración del plano respecto a tierra, pero ¡ojo! que es la suma vectorial, ya que la primera es paralela al plano inclinado y la segunda es vertical:

$\mathbf{a_t}=\mathbf{a_e}+\mathbf a$

Puesto que las expresiones vectoriales de $\mathbf{a_e,a}$ valen:

$\mathbf{a_e}=a_eCos(\theta)\mathbf i+a_eSen(\theta)\mathbf j\qquad\qquad \mathbf a=a\mathbf j$

la aceleración compuesta de ambas, es decir la aceleración respecto a tierra será igual a la suma vectorial de ambas:

$\mathbf{a_t}=a_eCos(\theta)\mathbf i+a_eSen(\theta)\mathbf j+a\mathbf j=(g-a)Sen(\theta)Cos(\theta)\mathbf i+\left[gSen^2(\theta)+aCos^2(\theta)\right]\mathbf j$

resultado que coincide a la perfección con el que ya publicó Escobedo aunque quizás los argumentos para llegar a dicha expresión difieran.

NOTA: El problema podría complicarse aún más si consideráramos que el sistema de tierra tampoco fuera inercial, debido a su rotación, aunque creo que ese enfoque se sale de los objetivos de quien planteó el problema. En la solución presente se ha supuesto que el sistema de referencia de tierra es inercial.

Salu2, Jabato.

[Diego117]

Re: Plano inclinado en elevador.

Muchas gracias a todos por sus respuestas, me interesa mucho la física y estoy intentando aprenderla, lamentablemente en mi comunidad no hay maestros pero hago todo mi esfuerzo. Me quedo muy claro todo, gracias y un saludo.