1r ciclo Relación entre trabajo y energía potencial

[bruno_uy]

Hola, Tengo las siguientes dudas teóricas.

Se cumple que si $\vec{F}$ es cte entonces $W_{\vec{F}} = \vec{F}.d\vec{r} = \mu^A_P - \mu^B_P$ y de aquí se deduce que: $\mu_P = \vec{F}.d\vec{r} + cte$

Mi duda es: Eso se cumple sólo si F es Cte? Ya que luego vi un ejemplo en que calculan de esta manera la energía potencial asociada a la fuerza restauradora de un resorte, y dicha fuerza no es cte porque cambia de dirección. No obstante es conservativa, pero:

$W_{\vec{F}} = \vec{F}.d\vec{r}$ se cumple sólo si $\vec{F}$ es constante me explico? Porque de esta manera la puedo "sacar" de la integral:

$W_F = \displaystyle\int_{}^{}\vec{F}.d\vec{r} = F.\displaystyle\int_{}^{}d\vec{r}$ esta algebra la puedo hacer porque $\vec{F}$ es constante.

En cambio vi el resultado: $\mu_p{}(\vec{r}) = kx^2/2$ Calculado con la formula: $\mu_p{}(\vec{r}) = -\vec{F}.\vec{r}$

En resumen: quiero saber si con esa sencilla fórmula también puedo calcular la energia potencia asociada a fuerzas conservativas o si sólo vale para fuerzas constantes.

y mi segunda duda, y no menos importante, es:
Si tengo Una fuerza, la energia potencial asociada a esta fuerza y el trabajo que realiza esa fuerza.
Entonces, tengo entendido que:

El módulo de la fuerza es la derivada de la función Energía potencial asociada a dicha fuerza.
Por otro lado, la fuerza con el trabajo se relacionan por la integral de linea que utilicé más arriba.

Ahora, mi pregunta es: Como se relacionan el trabajo con la energía potencial?
Lo único que he visto creo que es que el trabajo de una fuerza conservativa es "menos" la variación de energia potencial.. pero sólo se cumple para fuerzas conservativas esa relación. Y también tengo la duda si eso es una definición o si se deduce de algún lado..

Gracias.

[visitante20160513]

Re: Relación entre trabajo y energía potencial

Resume un poco y concreta la pregunta porque es demasiado dispersa, hay incluso símbolos que no se entiende que representan.

[Al2000]

Re: Relación entre trabajo y energía potencial

...
Mi duda es: Eso se cumple sólo si F es Cte? Ya que luego vi un ejemplo en que calculan de esta manera la energía potencial asociada a la fuerza restauradora de un resorte, y dicha fuerza no es cte porque cambia de dirección. No obstante es conservativa, pero:

$W_{\vec{F}} = \vec{F}.d\vec{r}$ se cumple sólo si $\vec{F}$ es constante me explico?
...
En resumen: quiero saber si con esa sencilla fórmula también puedo calcular la energia potencia asociada a fuerzas conservativas o si sólo vale para fuerzas constantes.
...

Para algunos tipos de fuerzas, entre ellas las constantes, se obtiene que el trabajo realizado por esas fuerzas

$$W = \int_C \vec F \cdot d \vec r$$

no depende de la trayectoria C que se siga, sino que sólo es dependiente de los puntos inicial y final de la trayectoria:

$$W_\text {AB} = \int_{A}^{B}\!\! \vec F \cdot d \vec r = U_{(A)} - U_{(B)} = -\Delta U$$

A las fuerzas que cumplen esta condición se les llama fuerzas conservativas y a la función $U_{(\vec r)}$ se le llama la Energía Potencial asociada a la fuerza $\vec F_{(\vec r)}$.

...
y mi segunda duda, y no menos importante, es:
Si tengo Una fuerza, la energia potencial asociada a esta fuerza y el trabajo que realiza esa fuerza.
...

Bueno, creo que todo queda dicho arriba. Se podría añadir que no es difícil demostrar que si se aplica (1) a una trayectoria infinitesimal, se obtiene que

$$\vec F_{(\vec r)} = - \mathrm {grad} \, U_{(\vec r)} = - \vec \nabla U_{(\vec r)}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[alexpglez]

Re: Relación entre trabajo y energía potencial

Hola, lo primero sería entender bien lo que es una integral curvilínea.

$$W=\lim_{max (\Delta \vec r) \to 0} \sum_{i=0}^n \vec F(\vec r_i^*) \Delta \vec r_i =\int_l \vec F \cdot d \vec r$$

Con $\Delta \vec r_i= \vec r_{i+1}- \vec r_i \;\;\; x_i^* \in [x_i, x_{i+1}] \;\;\; y_i^* \in [y_i, y_{i+1}] \;\;\; z_i^* \in [z_i, z_{i+1}]$, y $l$, cierta trayetoria.

Para resolver la integral anterior que no sabemos resolver, (hay que notar aquí que la integral anterior no es la suma de tres integrales $\int_l \vec F \cdot d \vec r\neq \sum_i \int_A^B F_i \cdot d x_i$, que se demuestra con varios contraejemplos claros). La idea es que podemos parametrizar la curva mediante la derivada $\vec v=\frac{d \vec r}{dt}$, por el teorema de Lagrange:

$$\Delta \vec r_i=\vec v(t_i^*) \Delta t_i$$

Entonces:

$$W=\lim_{max (\Delta \vec r) \to 0} \sum_{i=0}^n \vec F(\vec r_i^*) \Delta \vec r_i =\lim_{max (\Delta t) \to 0} \sum_{i=0}^n \vec F(\vec r(t_i^*)) \cdot \vec v(t_i^*) \Delta t_i= \int_{t_A}^{t_B} \vec F \cdot \vec v dt$$

Siendo esta última una integral definida normal y corriente. Entonces como ves se puede integrar, trasladando al problema a una integral definida. Ahora bien, en muchos casos, la integral no depende del camino escogido, se dice entonces que la fuerza es conservativa, hay varias pistas para encontrar esto, una es mediante el teorema de Stokes, puesto que la integral sólo depende de los puntos inicial y final, y estos son los mismos, la integral sobre una curva cerrada es 0:

$$\oint_{\partial_+ S} \vec F \cdot d \vec r= \iint_S (\vec \nabla \times \vec F) d \vec S=0 \;\;\; \vec \nabla \times \vec F=0 \;\;\; \vec F=-\vec \nabla \mu$$

Con $\mu(\vec r)$ la energía potencial tal y como lo has simbolizado en el primer mensaje, el signo (-) es por pura convención en física.
Otra pista sería que si imponemos que:

$$-(\mu_p^B-\mu_p^A)=\int_{t_A}^{t_B} \vec F \cdot \vec v dt$$

Necesariamente el integrando debe venir de una derivada total de la función:

$$-\vec F \cdot \vec v= \frac{d\mu[x(t),y(t),z(t)]}{dt}=\frac{\partial \mu}{\partial x}v_x+\frac{\partial \mu}{\partial y}v_y+\frac{\partial \mu}{\partial z}v_z=\vec \nabla \mu \cdot \vec v$$

$$\vec F=-\vec \nabla \mu$$

Visto esto, aparece ya como definición que $W=-\Delta \mu$.

La fuerza constante es un caso particular de fuerza conservativa y además si se puede sacar de la integral. Y obtienes para fuerzas constantes $W=\vec F \cdot \Delta \vec r$ respondiendo a la duda que preguntabas.

Respecto a la energía potencial, es si, se puede añadir una constante, puesto que al derivar esta es 0, supongo que es lo que quieres expresar con: $\mu_P = \vec{F}.d\vec{r} + cte$ pero es incorrecto lo que aquí escribes. En primer lugar porque no existe la llamada antiderivación hablando de una integral curvilínea, en segundo porque olvidaste el símbolo de la integral.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

PD: se me adelantó Al2000