Problema masas múltiples

[314Raul271]

Hola buenas a tod@s, antes había tenido un error al adjuntar una foto que no sabía que no se podía, así que reitero la pregunta esta vez con los datos correctos.
Tenía una duda en el ejercicio cuyo enunciado es el siguiente.
"Una nave espacial cuya área frontal es de 25 m^2 pasa a través de una nube de gas interestelar con una velocidad de 10^6 m/s. La densidad del polvo estelar es de 2 por 10 ^-18 kg/m^3. Todas las particulas que del gas intermoleculares se quedan pegadas a la nave y nos pide la fuerza de desaceleracion media que el polvo ejerce sobre la nave"

Tengo claro que al estar en un problema de mecánica clásica, no hay presencia de ninguna fuerza exterior, lo cual nos dice que se conserva el momento lineal del sistema, además la colision entre las particulas y la nave es perfectamente elastica, lo cual quiere decir que la masa de la nave aumentará y por tanto lógicamente la velocidad de la nave disminuirá, pero como he de hacer para hallar la fuerza de desaceleracion?
Un saludo y muchas gracias de antemano.
Raúl.

[sater]

Yo añadiría al enunciado que el cohete mantiene su velocidad constante (o que vamos a sacar la fuerza instantánea que se ejerce en función de la velocidad que lleve en el momoento, luego suponemos que la velocidad no varía hasta no considerar suficientes choques). Aplicamos la segunda ley de Newton:

$$F=\dfrac{\dd (mv)}{\dd t}=\dfrac{\dd m}{\dd t} v+m\dfrac{\dd v}{\dd t}$$

donde $\dfrac{\dd v}{\dd t}=0$ como he dicho que supondré. Solo resta ver cómo varía la masa con el tiempo debido a las partículas que se le adhieren. Si la nave va a velocidad $v$, en un pequeño tiempo $\Delta t$ se encontrará con todas las partículas que haya en el volumen $V$ que barre su sección transversal al avanzar tal distancia (si supones la sección transversal circular, sería un cilindro, pero la fórmula es válida en general) $\Delta V=A v \Delta t$. En el límite, los $\Delta$ se convierten en diferenciales, y como $\dd m=\rho \dd V$, se tendría $\dd m=\rho A v \dd t$ o lo que es lo mismo $\dfrac{\dd m}{\dd t}=\rho A v$. Sustituyendo en (1):

$$F(v)=\rho A v^2$$

que es la típica fuerza de arrastre cuando se va a gran velocidad.

Un saludo =)

[JCB]

Hola a tod@s.

Disculpa sater, la opinión de un aficionado a la Física como yo, pero he estado días dándole vueltas a este ejercicio, y diría que la siguiente afirmación es correcta: si consideramos al sistema nave - gas, no hay ninguna fuerza exterior aplicada (como por ejemplo podría ser el peso), luego, la cantidad de movimiento del sistema se conserva. Es decir, y utilizando tu mismo desarrollo,

$F=\dfrac{dp}{dt}=0$,

$\dfrac{dm}{dt}v+m\dfrac{dv}{dt}=0$,

$ma=\dfrac{-\rho Avdt}{dt}v=-\rho Av^2$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Eludio]

Hola a tod@s.

···si consideramos al sistema nave - gas, no hay ninguna fuerza exterior aplicada (como por ejemplo podría ser el peso), luego, la cantidad de movimiento del sistema se conserva. Es decir, y utilizando tu mismo desarrollo,

$F=\dfrac{dp}{dt}=0$,

$\dfrac{dm}{dt}v+m\dfrac{dv}{dt}=0$,

$ma=\dfrac{-\rho Avdt}{dt}v=-\rho Av^2$.

Saludos cordiales,
JCB.

Si el sistema que consideramos es nave+gas, entonces $\dfrac{dm}{dt}=0$ ¿no?

[JCB]

Si el sistema que consideramos es nave+gas, entonces $\dfrac{dm}{dt}=0$ ¿no?

Hola a tod@s.

Eludio: yo considero a un sistema, que es la nave, más las partículas de gas que se van añadiendo al frontal de la nave. Evidentemente, no tengo en cuenta a las partículas de gas, que todavía no se han adherido.

$p_i=mv$.

$p_f=(m+dm)(v+dv)$.

$dp=p_f-p_i=mv+mdv+vdm+dmdv-mv=mdv+vdm$.

$\dfrac{dp}{dt}=m\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{dm}{dt}v=0$,

$ma=-\dfrac{dm}{dt}v=-\dfrac{\rho Avdt}{dt}v=-\rho Av^2$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Eludio]

¿Ese sistema no sería la nave?

[Eludio]

Hola a tod@s.

Eludio: yo considero a un sistema, que es la nave, más las partículas de gas que se van añadiendo al frontal de la nave. Evidentemente, no tengo en cuenta a las partículas de gas, que todavía no se han adherido.···

No sé, eso me parece una especie de "multisistema", pues va cambiando continuamente... por eso digo que es equivalente al sistema "nave"

[JCB]

Precisamente por ese motivo, es un sistema de masa variable.

[Eludio]

Eso es lo que digo. Si no consideras la masa del gas hasta que este ha impactado con la nave, el sistema es la nave, y es la nave la que cambia de masa. Cualquier sistema nave+gas (por grande o pequeña que sea la fracción de gas que consideras) será de masa constante.¿no?

[JCB]

Buena técnica: responder siempre con una pregunta

[sater]

Buenas JCB. De aficionado nada, estoy seguro que en temas y problemas de física clásica me das mil vueltas (este año estoy estudiando las opos para secundaria y me toca repasarla).

A mí el enunciado me descolocó un poco, y quizá no le presté la atención que debiera. Llevas razón. Al ser partículas adhiriéndose en lugar de desprendiéndose me despistó, pero si vemos la película "marcha atrás" el funcionamiento sería el mismo que el de un cohete. Es decir, si el enunciado dijera: por una misteriosa razón, la masa de la nave está incrementando (sin aludir a choques de partículas), sin duda sería directo ver que es lo que tu has hecho.

Gracias por hacerlo notar, un saludo.

[Eludio]

Buena técnica: responder siempre con una pregunta
JCB.

No es una técnica, es una manera de expresar que no estoy seguro. Cuando creo estar seguro, no pregunto

En este caso, me parece a mí que el sistema es la nave, no nave + gas. Pero tu solución sí la veo correcta. Incluso obtienes el signo correcto (fuerza de sentido contrario a la velocidad de la nave) y sin necesidad de hacer consideraciones a la constancia de la velocicad.

Yo mismo resolví este problema tal como lo hizo Sater, pero mientras lo hacía, en el ínterin, apareció la repuesta de Sater antes que la mía y por eso la borré enseguida (esto creo que fuer ayer). Mi única objeción es lo del "sistema".

[JCB]

Hola a tod@s.

Eludio: ha sido un comentario sin intención de malicia, a un colega.

Los ejercicios de sistemas de masa variable, no me resultan demasiado intuitivos, y siempre tengo dudas.

Saludos cordiales, compañero,
JCB.

[Eludio]

He borrado mi objeción a lo del cohete filmado marcha atrás, pues era errónea....

[sater]

No me ha dado tiempo a leerla Eludio, pero te pregunto: concuerdas entonces con dicho razonamiento?

[Eludio]

Sí, es simétrico.

NOTA: Me he equivocado al enviar este mensaje y pulsado denunciar en vez de comentar.... que conste que no denuncio nada...

[Richard R Richard]

Hola a todos, el problema "no" es invertible a un cohete de masa variable por que en esos problemas el impulso es constante y la velocidad relativa de salida de los gases es constante, aquí al bajar la velocidad si la seccion permanece constante, ira disminuyendo el impulso de las colisiones.

Creo que la fuerza va a ser variable con la velocidad, deteniéndose en un tiempo infinito a una distancia infinita, porque al chocar con el gas este le transfiere momento al cohete, como propone el enunciado, pero nunca habrá la suficiente masa para que el cm de masa y gas sea nulo. Si bien la fuerza es muy debil, pasado el suficiente tiempo, debe detener a la nave, pero debe perderse toda la energía cinética y creo que eso incumpliría las dos conservaciones.
Sater ,es incongruente decir que la velocidad es constante pero que hay resultante no nula de colisión.
Este es un problema similar al del cohete de Tsiokovski... Pero la masa en vez de perderse se gana y en vez de aumentar la velocidad relativa al espacio disminuye, la principal diferencia como dije por la que no se puede usar la misma fórmula que en los cohetes de masa variable es que la velocidad de impacto/ expulsión de gases no es constante.
Es el ejercicio inverso suponer que el cohete expulsa gases pero que estos siempre son expelidos con velocidad nula para un observador externo.

[Eludio]

Hola a todos, el problema "no" es invertible a un cohete de masa variable por que en esos problemas el impulso es constante y la velocidad relativa de salida de los gases es constante, aquí al bajar la velocidad si la seccion permanece constante, ira disminuyendo el impulso de las colisiones.

Creo que la fuerza va a ser variable con la velocidad, deteniéndose en un tiempo infinito a una distancia infinita, porque al chocar con el gas este le transfiere momento al cohete, como propone el enunciado, pero nunca habrá la suficiente masa para que el cm de masa y gas sea nulo. Si bien la fuerza es muy debil, pasado el suficiente tiempo, debe detener a la nave, pero debe perderse toda la energía cinética y creo que eso incumpliría las dos conservaciones.
Sater ,es incongruente decir que la velocidad es constante pero que hay resultante no nula de colisión.
Este es un problema similar al del cohete de Tsiokovski... Pero la masa en vez de perderse se gana y en vez de aumentar la velocidad relativa al espacio disminuye, la principal diferencia como dije por la que no se puede usar la misma fórmula que en los cohetes de masa variable es que la velocidad de impacto/ expulsión de gases no es constante.
Es el ejercicio inverso suponer que el cohete expulsa gases pero que estos siempre son expelidos con velocidad nula para un observador externo.

Según el planteamiento de JCB , la velocidad no es constante, va disminuyendo con el tiempo. Si paramos la "película" y la reproducimos al revés, es el caso de un cohete, por lo que lo que dice sater me parece correcto. Aunque la velocidad de salida de los gases respecto a la nave no sea constante, no por ello deja de ser un cohete, que no es más que un vehículo que se impulsa por expulsión de masa... y sería el inverso de este problema.

[Eludio]

Aunque sería un cohete ridículamente lento (más bien, de muy baja aceleración), pues si no me equivoco en mis cálculos, expulsa unos 5 gramos de gas cada 3 años aprox...

[Livilro]

¿ Implica que si aumenta la masa de la nave es acosta de la reducción de la masa del gas no ?

No podria aumentar la masa de la nave mientras se mantiene constante la masa del gas ya que violaria la conservación. Creo que me perdi en algún punto..

¿ En que ecuación de las expuestas se refleja ?, me esta costando verlo.

[Richard R Richard]

$ma=-\dfrac{dm}{dt}v=-\dfrac{\rho Avdt}{dt}v=-\rho Av^2$.

Saludos cordiales,
JCB.

Si estoy de acuerdo con el desarrollo de JCB.

Hola Eludio, si la aceleración depende de la velocidad , cuando esta es nula, el cohete no acelera, por eso no es un cohete como tal entenderlo a la inversa. Has la integral de la velocidad en función del tiempo , veras a lo que me refiero.
Livilro la masa de gas es ilimitada, a cada instante el cohete tiene mas masa, y su velocidad se reduce porque ahora el centro de masa del cohete+particulas tiene la velocidad del cohete y la velocidad desciende hiperbólica y asintóticamente .

[Eludio]

Cierto. Pero en este caso concreto la nave nunca tiene velocidad cero. Empieza a velocidad v y llegaría a cero a tiempo infinito. Si en algún momento paramos la película y la vemos al revés, empezamos a cierta velocidad distinta de cero y es equivalente a un cohete.