Problema masas múltiples

[Eludio]

¿ Implica que si aumenta la masa de la nave es acosta de la reducción de la masa del gas no ?

No podria aumentar la masa de la nave mientras se mantiene constante la masa del gas ya que violaria la conservación. Creo que me perdi en algún punto..

¿ En que ecuación de las expuestas se refleja ?, me esta costando verlo.

El sistema en consideración es la nave y las fórmulas reflejan la variación de la masa de la nave. Si consideráramos el sistema gas, entonces veríamos la variación de la masa de gas en la ecuación pertinente. Si consideramos el sistema nave+gas, entonces la masa no varía.

[JCB]

Hola a tod@s.

Sigo insistiendo en el aspecto de que el sistema no es solamente la nave, pues se debe tener en cuenta a la situación en que se encuentran las partículas de gas, en el instante inmediatamente anterior al choque contra la nave: la situación previa del estado de movimiento de las partículas de gas, afecta a la situación final de movimiento de la nave con las partículas adheridas.

Para ello, considero que las partículas de gas no están quietas, es decir, tienen una velocidad de aproximación hacia la nave en la misma dirección que la velocidad $v$ de la nave, pero de sentido contrario, y magnitud $u$. De forma similar al mensaje # 5, planteo la cantidad de movimiento del sistema, antes y después del impacto,

$p_i=mv-udm$.

$p_f=(m+dm)(v+dv)$.

$dp=p_f-p_i=mv+mdv+vdm+dmdv-mv+udm=mdv+vdm+udm$.

$\dfrac{dp}{dt}=m\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{dm}{dt}(v+u)=0$.

A partir de aquí, editado para corregir error detectado por Eludio:

Considerando que ahora $dm=\rho A(v+u)dt$,

$ma=-\dfrac{dm}{dt}(v+u)=-\rho A(v+u)^2$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Livilro]

¿ Como interpetais que aumenta una masa en ausencia de fuerzas pero si adherencia de partículas ?

(acabo de ver el cambio de JCB, era necesario, sino no tiene sentido el ejercicio.)



Estamos interpretando :

-Un cohete que aumenta sus proporciones dentro de un medio ilimitado.

-Un cohete que aumenta sus proporciones dentro de un medio que reduce su densidad de partículas.

-Un cohete de constantes proporciones dentro de un medio ilimitado.

-Un cohete de constantes proporciones dentro de un medio que reduce su densidad de partículas.

?

[JCB]

¿ Como interpetais que aumenta una masa en ausencia de fuerzas pero si adherencia de partículas ?

Hola a tod@s.

Livilro: cuando circulo con mi coche por la carretera, la masa de este se incrementa por los mosquitos que se quedan pegados al frontal, ya estén estos quietos o en movimiento previo.

Saludos cordiales,
JCB.

[Livilro]

Claro y cristalino, gracias

[Livilro]

Si la velocidad del coche es = 0 los mosquitos no se adhieren jej ( broma, perdón )
Suponiendo que solo con contactar ya se adhieran, con velocidad = 0 impactarán de manera equiprobable en cualquier parte de coche-cohete ( con promedio constante de velocidad y ángulos )

[Eludio]

Hola a tod@s.

Sigo insistiendo en el aspecto de que el sistema no es solamente la nave, pues se debe tener en cuenta a la situación en que se encuentran las partículas de gas, en el instante inmediatamente anterior al choque contra la nave: la situación previa del estado de movimiento de las partículas de gas, afecta a la situación final de movimiento de la nave con las partículas adheridas.

Para ello, considero que las partículas de gas no están quietas, es decir, tienen una velocidad de aproximación hacia la nave en la misma dirección que la velocidad $v$ de la nave, pero de sentido contrario, y magnitud $u$. De forma similar al mensaje # 5, planteo la cantidad de movimiento del sistema, antes y después del impacto,

$p_i=mv-udm$.

$p_f=(m+dm)(v+dv)$.

$dp=p_f-p_i=mv+mdv+vdm+dmdv-mv+udm=mdv+vdm+udm$.

$\dfrac{dp}{dt}=m\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{dm}{dt}(v+u)=0$,

$ma=-\dfrac{dm}{dt}(v+u)=-\rho Av(v+u)$.

Saludos cordiales,
JCB.

Aquí ya me pierdo un poco. Usas v y u, dos velocidades. Si situamos el sistema de referencia en la "nave", entonces v=0. Si situamos el sistema de referencia en el "gas" entonces u=0. En cualquier caso, como una se anula....

[JCB]

He considerado a "v" y a "u", como velocidades referenciadas a un observador externo.

[Eludio]

JCB , pero en este caso, me parece que $\dfrac{dm}{dt}\neq\rho Av$ Porque la velocidad de la nave respecto al gas ya no es v ¿no?

Esto es válido cuando el observador externo está quieto con respecto al gas (u=0), y el resultado es el mismo que en el mensaje #5

[JCB]

Totalmente de acuerdo, Eludio. He editado mi mensaje # 17.

[Eludio]

Lo desarrollo un poco más:

$\dfrac{dm}{dt}=\rho A\left(v+u\right)$ y esta $v$ ya no tiene que ser inicialmente la misma del enunciado del problema, solo es la misma si u=0 (observador externo no se mueve respecto del gas).

Luego el resultado es:

$ma=-\rho A\left(v+u\right)^2$

Y es una fórmula general para un observador en un sistema de referencia que se mueve a cierta velocidad en el eje x, siendo v y u las velocidades de la nave y del gas respecto a este observador y, por tanto, la velocidad de la nave respecto al gas será $\left(v+u\right)$. En el caso del mensaje #5 la velocidad de la nave $v$ es inicialmente la del enunciado y $u=0$ (observador situado en el gas). Etc.

En resumen, como

${v_{nave}}_{/gas}=\left(v+u\right)$, sustituyendo llegamos al misma fórmula del mensaje #5:

$ma=-\rho A{v^2_{nave}}_{/gas}$

[JCB]

Totalmente de acuerdo, Eludio. He editado mi mensaje # 17.

[Richard R Richard]

De acuerdo, me resulta mas fácil poner al observador en reposo al gas, así u=0, y recuperamos las formulas del post #5

[Eludio]

"Una nave espacial cuya área frontal es de 25 m^2 pasa a través de una nube de gas interestelar con una velocidad de 10^6 m/s. La densidad del polvo estelar es de 2 por 10 ^-18 kg/m^3. Todas las particulas que del gas intermoleculares se quedan pegadas a la nave y nos pide la fuerza de desaceleracion media que el polvo ejerce sobre la nave"

Volviendo al enunciado del problema, nos pide el valor de la fuerza media de desaceleración. En el mensaje #5 JCB se deduce la fórmula del valor "instantáneo" de la fuerza solicitada (en función de la velocidad). Es de notar que el problema es pródigo en los datos necesario menos en uno: la masa inicial de la nave. Creo que donde dice "pasa a través de una nube de gas interestelar con velocidad 10^6 m/s" ya nos está indicando que hemos de tomar la velocidad como constante, para así poder resolver el problema con los datos dados. Asumiendo velocidad constante, la fuerza promedio coincide con la instantánea y problema resuelto.

De los valores numéricos ya se ve que para una nave de una masa de, digamos, 100 Kilos, muy ligera para tener 25 m^2 de área frontal, la velocidad será prácticamente constante. Aún así, para confirmarlo, me he entretenido en obtener la fórmula del valor de la velocidad en función del tiempo (resolviendo la ecuación diferencial haciendo aproximaciones de acuerdo a los valores dados(fórmula con la que los resultados apenas difieren en el quinto decimal (para v=un millón) con la solución exacta con WolframAlpha) y ciertamente la velocidad es casi constante para la primera semana de viaje por la nube (y muchas más semanas también).

[Richard R Richard]

Cuando se habla de una media, es un promedio entre dos valores de la magnitud en dos tiempos distintos, si reducimos el intervalo hasta el limite tendiendo a 0 al inicio del problema , coincide efectivamente con la instantanea...

pero si lo que pide es la media en todo el intervalo de tiempo hasta que se detiene es el limite hasta $t=\infty$ creo que se resuelve con

$\overline{F}=\dst\lim_{T\to\infty} \dfrac{\int\limits_{0}^{T}F(t) dt}{T}$

lo que implica resolver la primitiva de $F(t)$ conociendo $F(v)$

[Eludio]

Cuando se habla de una media, es un promedio entre dos valores de la magnitud en dos tiempos distintos, si reducimos el intervalo hasta el limite tendiendo a 0 al inicio del problema , coincide efectivamente con la instantanea...

pero si lo que pide es la media en todo el intervalo de tiempo hasta que se detiene es el limite hasta $t=\infty$ creo que se resuelve con

$\overline{F}=\dst\lim_{T\to\infty} \dfrac{\int\limits_{0}^{T}F(t) dt}{T}$

lo que implica resolver la primitiva de $F(t)$ conociendo $F(v)$

Exacto. Si consideramos que v=cte, aplicando la definición de promedio a nuestro caso:

Sea $k=A\rho$

$\overline{F}=\dst\lim_{T\to\infty} \dfrac{\int\limits_{0}^{T}F(t) dt}{T}=\dst\lim_{T\to\infty} \dfrac{\int\limits_{0}^{T}-kv^2 dt}{T}=\dst\lim_{T\to\infty} \dfrac{-kv^2\int\limits_{0}^{T}dt}{T}=\dst\lim_{T\to\infty} \dfrac{-kv^2T}{T}=-kv^2=F$

Si v no es constante, como el valor de v depende del valor de la masa inicial de la nave y la fuerza es función de v, la fuerza será también función de la masa inicial de la nave y por tanto, no la puedo promediar, pues ese dato falta.... pero no estoy muy seguro de esto.

Además, me he dado cuenta que cuando dije que la fórmula aproximada que obtuve de la velocidad en función del tiempo daba resultados casi iguales a los de la exacta por Wolfram, resulta que no era la exacta, sino una menos aproximada, pero aproximada también (o sea, que la que metí en wolfram tenía aproximaciones ya hechas por mí).

NOTA: Bueno, creo haber subsanado el error con la fórmula de v(t) y ya tengo una exacta.

[Eludio]

Ahora sí tengo la ecuación exacta de la velocidad respecto al tiempo. Con ella tenemos la ecuación de F(t) a partir de la fórmula de JCB. Me limito a comprobar la casi constancia de la velocidad para un periodo de una semana con los otros datos del enunciado y masa inventada (la escojo relativamente baja, pues cuanto menor es la masa de la nave, más rápido disminuye la velocidad con el tiempo):

Para una nave de 100 Kg, al cabo de una semana la velocidad pasa de 1.000.000 m/s a 999.999,7 m/s, o sea, un 99.99997% de la inicial.

$v=\dst\dfrac{v_0}{\sqrt{1+\dfrac{2A\rho v_0}{m_0}t}}$

[JCB]

Fantástico. Ya transcribirás el desarrollo, espero.

[Eludio]

A ver si lo he hecho bien. La he planteado y luego la he resuelto con WolframAlpha (aunque no era difícil). Luego el cálculo de las constantes he tenido que hacerlo a mano porque con Wolfram me salía que la velocidad aumentaba con el tiempo...

NOTA: Perdón, había entendido que decías que ibas a hacerlo tú también, por eso decía lo de ver si mi resultado era correcto al compararlo con el tuyo. Yo soy muy propenso a los errores...

[Eludio]

Parto de la ecuación de JCB :

Sea $k=A\rho$.

Todas las derivadas son respecto al tiempo

$ma=-kv^2$

$\dst mv'=-kv^2$

$\dst m=\dfrac{-kv^2}{v'}$

Como conocemos la variación de m con el tiempo ($m'=kv$), derivo ambos miembros respecto al tiempo

$\dst m'=\dfrac{-2kv(v')^2+kv^2v''}{(v')^2}$

$\dst kv=kv\dfrac{-2(v')^2+vv''}{(v')^2}$

Simplificando y reordenado llego a la ecuación diferencial:

$\dst 3\left(\dfrac{dv}{dt}\right)^2=v\dfrac{d^2v}{dt^2}$

La soluciono con WolframAlpha:

$\dst v=\dfrac{c_1}{\sqrt{c_2+2t}}$

Los valores iniciales son:

$v(0)=v_0$

$\dst v'(0)=\dfrac{-kv_0^2}{m_0}$

Operando llego a la ecuación del mensaje #26:

$v=\dst\dfrac{v_0}{\sqrt{1+\dfrac{2A\rho v_0}{m_0}t}}$

NOTA:

Haciendo el cálculo de v para $m_0=100$ Kgrs y t = un siglo, la velocidad se mantiene al 99.8% de la inicial. Todo parece indicar que para calcular el promedio de F para tiempos "humanos", aproximar la velocidad de la nave respecto al gas a un valor constante es válido. A tiempo infinito (sin verificar) todo apunta a un promedio de cero. En este último caso, de ser así, me equivoqué y no hace falta la masa inicial para calcular la fuerza promedio.

NOTA 2: Verificado, el promedio a tiempo infinito es 0.

$\dst F=-kv^2=-\dfrac{kv_0^2}{1+\dfrac{2kv_0}{m_0}t}$

$\overline{F}=\dst\lim_{T\to\infty} \dfrac{\int\limits_{0}^{T}F(t) dt}{T}=\dst\lim_{T\to\infty} \dfrac{\dst -\int\limits_{0}^{T} \dfrac{kv_0^2}{1+\dfrac{2kv_0}{m_0}t} dt}{T}=\dst\lim_{T\to\infty} \dfrac{\dst -\dfrac{m_0v_0}{2}\ln{\left(1+\dfrac{2kv_0}{m_0}T\right)}}{T}=0$

NOTA: Como después de todo este esfuerzo Latex, resulte que está mal, me pego un tiro....

[JCB]

Gracias Eludio.