Secundaria Energía en campo gravitatorio

[persefone]

Hola! Preparando la PAU me he encontrado con esta cuestión:

Considera dos partículas de masas m₁ y m₂ = m₁/4 inicialmente en reposo. Ambas comienzan a acercarse debido a su interacción gravitatoria. Determina qué relación existirá entre sus energías cinéticas, al cabo de un tiempo t.

Entiendo que inicialmente el sistema de las dos partículas tiene energía potencial gravitatoria:
Ep=-Gm₁m₂/r=-1/4 Gm₁²/r

Y conforme se acercan por la acción del campo gravitatorio, su energía potencial disminuye y su energía cinética aumenta.

Pero si planteo la conservación de la energía mecánica, como no sé cómo relacionar las distancias inicial y final entre las masas, no puedo sacar la relación entre las energías cinéticas.

¿A alguien se le ocurre qué hacer?

Muchas gracias por adelantado

[arivasm]

Re: Energía en campo gravitatorio

La salida más inmediata consiste en recurrir a la conservación del momento lineal del sistema. Como inicialmente es 0 lo será en todo instante. Por tanto $\vec p_1=-\vec p_2$. En términos de módulos, $p_1=p_2$. Como la energía cinética de una partícula es $\dst K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m}$ la proporción que te piden será

$\dst \frac{K_1}{K_2}=\frac{\frac{p_1^2}{2m_1}}{\frac{p_2^2}{2m_2}}=\frac{m_2}{m_1}=\frac{1}{4}$

Fíjate que no importa lo más mínimo qué tipo de interacción exista entre ambas partículas.

Permíteme que termine con un comentario: no sé si en tu comunidad autónoma la mecánica de los sistemas de partículas forma parte del temario de 2º de bachillerato. Hace años era así*. Actualmente (hablo en términos pre LOMCE, para el próximo curso vete a ver) hay comunidades autónomas, entre ellas la mía, en las que no.

*¿El ejercicio en cuestión es de las PAU de hace años?

Lo digo porque si no habéis dado sistemas de partículas (por ejemplo, ¿habéis estudiado los choques entre partículas?) será lógico que no se te ocurra lo que escribí antes, de manera que el camino pasaría por intentarlo de la manera que has escrito tú, a la que le faltaría alguna ecuación más. Ésta podría ser, por ejemplo, la inmovilidad del centro de masas. De todos modos, el procedimiento sería más farragoso que el que puse antes.

[persefone]

Re: Energía en campo gravitatorio

Gracias por tu respuesta. Los choques y la conservación del momento lineal lo vimos en 1º. Y efectivamente el ejercicio debe ser de hace años, nos da hojas mi profesora para practicar y dice que ahora son más fáciles y que no los coge de hace años. O eso, o es de su cosecha, vete a saber.

Me quedo con la idea que me das y con la duda de si algo así podría salir ahora en el examen. Porque además lo del centro de masas seguro que no lo he dado.