Satélite con órbita que decae

[moboli]

Buenos días
Es la primera vez que entro en éste Foro y agradecería si alguien me pudiera ayudar.
En un problema de Gravitación me comentan que un satélite, debido a la fricción con la atmósfera modifica su órbita, pasa de un radio de 7000 km a 6600. Me pide que calcule el tiempo que tarda en cambiar de órbita, así como el número de vueltas que da en ese tiempo.
Muchas gracias por las aportaciones

[sater]

El problema pinta interesante, pero sin más datos no se me ocurriría cómo afrontarlo. ¿Te dan el tipo de fuerza de rozamiento?

[moboli]

Perdona, sí me dicen que la Fuerza de rozamiento son 2 N.
Gracias

[sater]

Va, se me ocurren varias cosas. Una podría ser la siguiente:

El cambio en la energía mecánica del satélite será debido al trabajo que haga la fuerza de rozamiento $\dd E_m=\dd W_R$.
Como $E_m=-GMm/2R$ y $\dd W_R=-F_R \dd l$, con $\dd l=R\dd \theta$, queda la ecuación diferencial:

$$\dfrac{1}{2}GMm\dfrac{\dd R}{R^2}=-F_R R\dd \theta$$

Integras entre $R_2$ y $R_1$ (con $R_2>R_1$), y entre y $2\pi n$, con $n$ el número de vueltas y despejando n:

$$n=\dfrac{GMm}{8\pi F_R}\left(\dfrac{1}{R_1^2}-\dfrac{1}{R_2^2}\right)$$

Ahora no has dicho si el satélite orbita la Tierra o el qué así que no puedo sustituir. ¿Tienes el enunciado completo?

[Richard R Richard]

Este es un intento fallido por lo que se verá más adelante.
Hola, yo diría que el 1/2 en la energía mecánica es consecuencia de considerar la órbita circular ,pero es claro que es una espiral

Por eso no seria correcto hacer

$d(\dfrac12\dfrac{GmM}{R^2})=F_rR\,d\theta$

Que creo que es lo que apunta Sater.

Si la fórmula permite calcular la velocidad orbital circular inicial y final , digamos si sirve como para tener el momento angular.

Para mí, si bien no es mas directo, podemos pensar que varia tanto la energía cinetica como la energía potencial gravitatoria, y lo que se conserva en el momento angular de la órbita L que sale con los datos iniciales.

$d(E_m)=d(W_r)$

$\dfrac{\partial E_m}{\partial R} dR =F_rR \,d\theta<br />$
usando $Em=\dfrac{GmM}{2R}$

y $L =mR^2\omega^2$

Luego

$\dfrac{\partial \left(\dfrac{-GmM}{R}+\dfrac{L^2}{2mR^2}\right )}{\partial R} dR =F_rR \,d\theta$

$\left(\dfrac{GmM}{R^2}-\dfrac{L^2}{mR^3}\right ) dR =F_rR \,d\theta$

arreglamos términos en la Ed para poder integrar

$\left(\dfrac{GmM}{R^3}-\dfrac{L^2}{mR^4}\right ) dR =F_r \,d\theta<br />$

$\dst \int \limits_{7000000}^{6600000}\left(\dfrac{GmM}{R^3}-\dfrac{L^2}{mR^4}\right ) dR=\int \limits_0^{\theta_f }F_r d\theta$

$\displaystyle{\left(\dfrac{-GmM}{2 R^2}+\dfrac{L^2}{3m R^3}\right )\vert_{7000000}^{6600000}=F_r 2\pi n}$

[moboli]

Gracias Sater y Richard R

El enunciado completo es:
Un satélite de 4000 kg describe una órbita circular e 7000 km de radio. Al cabo del tiempo, por la fricción de la atmósfera se reduce su radi a 6600 km.
a) Calcula las variaciones en la velocidad lineal, angular , Energía cinética, Potencial y total. En éste no he tenido ningún problema.
b)Suponer que la resistencia de la atmósfera sobre el satélite representa una fuerza media de 2 N, calcula el tiempo necesario para reducir el radio de la órbita indicado
c)¿ Cuántas vueltas dará el satélite durante ese tiempo?

Voy a mirar vuestras aportaciones.
De verdad que muchas gracias

[Richard R Richard]

Al hablar de fuerza media parece indicar, que solo es necesario aplicar que la aceleración sale de la segunda ley de Newton , pero en órbitas circulares, la velocidad de la órbita más baja es mayor, así cuando el rozamiento, disminuye la energía del sistema, la energía cinética de sigue incrementando, no es factible un cálculo cinemático para despejar el tiempo.(o al menos no me doy cuenta )

La fuerza por la media de las velocidades da una potencia promedio, la variación de energía dividido la potencia debería dar un tiempo estimativo...mmm pero no estoy seguro.

creería que la solución viene de plantear el lagrangiano del sistema , despejar diferenciales e integrar, pero no tengo lidea de como hacerlo.

[JCB]

Hola a tod@s.

En caso de ausencia de rozamiento, el momento angular se conserva, pues la única fuerza presente (de atracción) es central y paralela al vector de posición. Por el contrario, en el caso del ejercicio, existe una fuerza de rozamiento no central, que modifica el momento angular.

Saludos cordiales,
JCB.

[moboli]

Muchas gracias por las aportaciones. Son de gran ayuda

[Richard R Richard]

Por el contrario, en el caso del ejercicio, existe una fuerza de rozamiento no central, que modifica el momento angular.

Ok , en ese caso suceden dos cosas, mi planteo es incorrecto y la fuerza de rozamiento tiene dirección de la trayectoria y sentido opuesto, una espiral, no es ni radial, ni perpendicular es una composición de ambas, Por donde se les ocurre el planteamiento... O se la idealiza Circular en todo momento como Sater sin componente radial, ... igualmente si el resultado final es un equilibrio de energía en órbita circular, la velocidad final es mayor .que la inicial. Como se saca el tiempo entonces cinematicamente?

[JCB]

Hola a tod@s.

Las dos situaciones del satélite que indica el enunciado son momentáneas. En la primera situación, lo hace de manera explícita. La segunda situación, interpreto que es también momentánea, pues la presencia de la atmósfera es permanente, y el radio de la órbita continuará disminuyendo (con una trayectoria en forma de espiral como dice Richard), al seguir perdiendo energía mecánica debido al rozamiento.

No se me ocurre otro planteamiento que no pase por considerar las órbitas circulares (como ha hecho sater), ni tampoco sabría cómo calcular el tiempo de transición entre las dos órbitas.

Seguiré pensando en el asunto.

Saludos cordiales,
JCB.

[moboli]

La verdad es que para mí me resulta compleja la solución. No doy con la forma de calcular el tiempo. Estoy dando vueltas a las aportaciones, pero sigo sin ver cómo sacar el tiempo.
Gracias, seguiremos pensando

[Richard R Richard]

Aver , si si así va...Edito no no va...
a cada instante la velocidad tangencial es insuficiente para mantener el equilibrio y tener una trayectoria circular, supongamos que el angulo de la aceleracion es muy pequeño respecto de la velocidad o bien que el frenado solamente es en dirccion tangencial así la aceleracion en la direccion radial es la diferencia entre la aceleración de la gravedad y la centrípeta calculada con velocidad disminuida

$ma_r=mg(r)-m\dfrac{\left (v(r)-\dfrac{F_r}{m}t\right )^2}{r}$

quizá esto deba mejorarse con una ED, que no he podido sacar de la chistera.

la a_r queda $a_r=\dfrac{F_r \,t}{mR}$

Y una vez que tenermos a_r(t) solo hace falta integrar dos veces entre el radio inicial y final, velocidad radial inicial y aceleración nulas a tiempo 0.

Que opinan...

[arivasm]

A ver qué os parece esto.

Puesto que la masa $m$ del satélite es de 4000 kg, la fuerza de rozamiento es despreciable frente a su peso. Por lo tanto, la aceleración tangencial es despreciable frente a la aceleración, de manera que podemos considerar que las "órbitas" son aproximadamente circulares, con velocidad

$v^2=G\dfrac{M}{r}$

y entonces energía

$$E =-\dfrac{1}{2}G\dfrac{Mm}{r}$$

Debido al rozamiento esta última no se conserva, sino que varía con el tiempo según

$\dfrac{\dd E}{\dd t}=-F_r v =-F_r\sqrt{G\dfrac{M}{r}}$

Derivando (1) e igualando, tenemos que

$-F_r\sqrt{G\dfrac{M}{r}}=\dfrac{1}{2}G\dfrac{Mm}{r^2}\dot r$

Con lo que nos queda la ecuación diferencial

$r^{-3/2}\dfrac{\dd r}{\dd t}=-\dfrac{2F_r}{m\sqrt{GM}}$

Es decir

$$\int_{r_0}^r r^{-3/2}\dd r=-\dfrac{2F_r}{m\sqrt{GM}} t$$

Luego el tiempo transcurrido durante el frenado vale

$t=\dfrac{m\sqrt{GM}}{F_r}(r^{-1/2}-r_0^{-1/2})$

Sobre cómo determinar el número de vueltas, la verdad es que todavía no veo un camino sencillo, aunque tiene pinta de que lo hay, parecido al anterior.

[Alriga]

Hola, recordad que cuando explicamos la "Paradoja de Von Braun" facilitamos un enlace en el que hay un desarrollo matemático del tema, es Movimiento de caída de un satélite artificial debido al rozamiento con la atmósfera

Saludos.