1r ciclo Cilindro girando con deslizamiento unido a Polea

[johnbear02]

Buenas a todos.

Estoy consternados con una duda acerca de un ejercicio:



Se dice que el cilindro de masa homogénea $M$ y radio $R$ atado a una cuerda pasa por una polea de masa despreciable y a un bloque de masa $m$ gira quedándose fijo en el lugar en presencia de fricción, con un coeficiente de fricción cinética $\mu$

Lo que resulta es que al hacer el tratamiento por Sumatoria de Fuerzas y por Sumatoria de Torques da un resultado incoherente.

(En el cilindro actúan la fuerza normal, peso, fricción y Tensión. Y del bloque solo el peso y Tensión)

$\sum F_t=0\implies T=Mg(\mu\cos(\theta)+\sin(\theta))$
$\vec{a}=\vec{0}$ dado que se dice que "El cilindro se queda fijo en ese lugar"
$\sum F_y=m(-a)\iff mg-T=ma$
$a=g-\frac{M}{m}g(\mu\cos(\theta)+\sin(\theta))$

Y esto es coherente, ya que la aceleración del bloque mientras baja es menor que $g$ y depende de las masas.

Pero usando los torques:

$\sum \tau =I \alpha \iff RT+Rf_c=\frac{1}{2} M R^2 \alpha$ (ya que $M\vec{g}$ y $\vec{n}$ no ejercen torque)
$a_t=\alpha R$
$a=2g(2\mu\cos(\theta)+\sin(\theta))$

Pero es extraño. Esta aceleración no depende de las masas y es mayor que g, que no tiene sentido.

¿Cuál es el error que cometí u omití?

[Richard R Richard]

Hola a vista de pájaro la sumatoria de fuerzas sobre el cilindro $\dst\sum F_{\parallel}=0=T-Mg(\sin\theta-\mu\cos\theta)$
la fuerza de rozamiento sobre el cilindro va en el mismo sentido que la tensión.
Si queda fijo la aceleración en traslación del cilindro es nula, pero la aceleración angular no tiene porqué serlo , no te imponen condiciones de rodadura, es rozamiento es dinámico y constante , el peso y la tensión también son constantes pero la suma de momentos no tiene porqué ser nula y el bloque m baja acelerando.
$\dst\sum F_y =mg-T=ma$

Revisa los signos.
si tomas momentos en el punto donde hace contacto el cilindro con el plano inclinado
$\cancel{\dst \sum M=-MgR\sin\theta+2RT=I\alpha=\dfrac12MR^2 \dfrac aR}$


si el centro del cilindro no acelera traslacionalmente , lo podemos tomar como centro de momentos
$\dst \sum M_c=RT-\mu Mg\cos \theta R=I\alpha=\dfrac12MR^2 \dfrac aR$

[johnbear02]

¿Por qué la fuerza de fricción va con el sentido de la Tensión, si las fuerzas netas (sin la fricción) apuntan hacia la dirección de la Tensión?

[JCB]

Yo entiendo que la fuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento. También acabo de ver que han modificado el título del hilo, afortunadamente.

[johnbear02]

Lamentablemente sigo sin entender. O sea, tengo en cuenta que la fuerza de rozamiento se opone al movimiento, esto es, si el cilindro desciende, la fuerza apunta hacia arriba de la pendiente, si el cilindro sube, la fuerza apunta hacia abajo de la pendiente, pero si el centro de masas se queda estático, ¿Qué ocurre en ese caso?

[JCB]

Hola a tod@s.

Parece que el título del hilo no corresponde a su contenido, pues el enunciado dice que el cilindro se queda fijo. Para que el cdm del cilindro se quede quieto, este debe girar forzosamente con deslizamiento.

Considerando que la rotación del cilindro es en el sentido horario (como indica el croquis), llego a que

1) $\sum{F}=0$, para el cilindro. $T=Mg(\sin\theta-\mu_d\cos\theta)$.

$\sum{F}=ma$, para la masa colgante. $T=m(g-a)$.

Igualando,

$a=g-\dfrac{Mg(\sin\theta-\mu_d\cos\theta)}{m}$. Aceleración de la masa colgante.

2) $\sum{M_G}=I\alpha$,

$\alpha=\dfrac{(2\sin\theta-4\mu_d\cos\theta)g}{R}$. Aceleración angular del cilindro. Entiendo que esta aceleración angular no depende de ninguna masa, porque desde el comienzo se está imponiendo que el cilindro gire con deslizamiento.

La aceleración tangencial de cualquier punto de la periferia del cilindro (atención, que es diferente a la aceleración de la masa colgante) es

$a_t=\alpha R=(2\sin\theta-4\mu_d\cos\theta)g$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Parece que comentamos al mimo tiempo, saludos JCB

[johnbear02]

¿Por qué (el módulo) la aceleración tangencial es diferente al de la aceleración de la masa colgante?

[JCB]

Me acabo de dar cuenta, johnbear02, del error de mi mensaje # 3.

[JCB]

Hola a tod@s.

Pensándolo mejor, creo que la afirmación "atención, que es diferente a la aceleración de la masa colgante" en mi mensaje # 3, no es correcta. Sería correcta, si el cilindro subiese por el plano inclinado. De esta manera, puedo igualar las dos aceleraciones

$g-\dfrac{Mg(\sin\theta-\mu_d\cos\theta)}{m}=(2\sin\theta-4\mu_d\cos\theta)g$.

De todas maneras, como en el enunciado no se concreta lo que se pretende hallar, lo dejo así.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

$\dst \sum M_c=RT-\mu Mg\cos \theta R=I\alpha=\dfrac12MR a$

$Rm(g-a)-\mu Mg\cos \theta R=I\alpha=\dfrac12MR a$

$Rmg-\mu Mg\cos \theta R=(\dfrac12MR+mR) a$

$mg-\mu Mg\cos \theta =(\dfrac12M+m) a$

$a=g\dfrac{m-\mu M \cos \theta}{\dfrac M2+m}$

[JCB]

Richard: en esta expresión, no se tiene en cuenta que el cilindro no se traslada. Además, al principio, es R2.

[Richard R Richard]

La expresión está simplificada el cuadrado del radio todo desaparece en ese caso, la tensión constante dada por parte del peso de la masa m impone la condición de no traslacion , conocida la tensión sale la aceleración en función de la masa m

[JCB]

Hola a tod@s.

Siguiendo con este ejercicio, que no parece nada trivial, diría que para que se cumplan las condiciones de giro del cilindro con deslizamiento, y sin traslación, se debe imponer la igualdad de los dos resultados hallados de la aceleración $a$. Es decir, que habrá cumplimiento de las condiciones del enunciado, solo bajo determinados valores de $M$, $m$, $\theta$ y $\mu_d$. Mediante esta premisa, consideré la expresión que iguala las dos aceleraciones que obtuve

$g-\dfrac{Mg(\sin\theta-\mu_d\cos\theta)}{m}=(2\sin\theta-4\mu_d\cos\theta)g$.

Una vez fijados los valores de $M$, $m$, $\theta$ y $\mu_d$ que satisfagan la igualdad anterior, entonces sí, que cualquiera de las expresiones de la aceleración $a$ debe conducir al mismo valor.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Efectivamente no cualquier combinación de masas ángulo de pendiente y coeficiente de fricción resultarán en que el xcilindro no acelere traslacionalmente.

[Richard R Richard]

Pensemoslo de otra manera...
para que el cilindro no descienda hay que hallar una fuerza T que lo haga deslizar en el lugar y hallar la aceleración angular.
Luego esa fuerza debe ser provista por la masa m en descenso cuya aceleración final es conocida por ser proporcional a la aceleración angulary al radio del cilindro.

sumatoria de fuerzas con aceleración de traslación nula

$$\dst\sum F_{\parallel}=0=T-Mg(\sin\theta-\mu\cos\theta)$$

Sumatoria de momentos para un CM del cilindro estático

$$\dst \sum M_c=RT-\mu Mg\cos \theta R=I\alpha=\dfrac12MR^2 \dfrac aR$$

La tensión debe ser la necesaria para mantener la aceleracion angular o la tangencial como prefieras constante

de 1 y 2 sale una aceleracion tangencial igual a

$$a_t =2g\sin\theta-4\mu g \cos\theta$$

eso resuelve la primera parte

si la tensión proviene de una masa colgante

$$a_t=\dfrac{P-T}{m}=g-\dfrac{T}{m}$$

si reemplazamos T por lo que vale en la ecuacion 1

$$a_t=g+\mu g\dfrac Mm \cos\theta-\dfrac Mm g\sin\theta=g\left(1+\dfrac Mm \sin\theta-\mu\dfrac Mm \cos\theta\right )$$

si reemplazamos T por lo que vale en la ecuación 2

$$a_t=g\dfrac{m-\mu M \cos \theta}{\dfrac M2+m}$$

no hay razón para que los resultado de 3,4,5 y 6 sean diferentes. puesto que m queda definida en 4 si se quiere por igualación con 3

Saludos

[johnbear02]

Una de las cosas que me piden es obtener M/m, y varios de nosotros nos da negativo el resultado (tomando en cuenta que el ángulo es $\pi/3$, el coeficiente de roce es 0.25)

[JCB]

Lamentablemente sigo sin entender. O sea, tengo en cuenta que la fuerza de rozamiento se opone al movimiento, esto es, si el cilindro desciende, la fuerza apunta hacia arriba de la pendiente, si el cilindro sube, la fuerza apunta hacia abajo de la pendiente, pero si el centro de masas se queda estático, ¿Qué ocurre en ese caso?

Hola a tod@s.

Según el croquis, el cilindro gira deslizando, en sentido horario, y sin traslación del cdm. Ahora imagino un plano inclinado de hielo y otro de asfalto. ¿ En cuál de los dos planos tendrá más facilidad para deslizar el cilindro ?. Diría que en el de hielo.

Entonces, para mí, la fuerza de rozamiento tiene el sentido hacia arriba del plano inclinado.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola jhonbear02 siempre es mejor coloques el enunciado entero , pregunta si quieres la parte específica que te crea dudas. Asi podemos ver si los datos son compatibles para rodar , deslizar y no trasladar.

Veamos si la masa del cilindro es muy grande comparada con la masa m y el angulo mas grande entonces el cilindro puede girar en sentido contrario, , en ese caso habrá otro equilibrio, pero eso no es lo que muestra el croquis.

He pensado y esa situacion es imposible, si la tensión desenrolla cable, el rozamiento siempre ira en el mismo sentido que la tensión oponiéndose con el momento torsor, ya que el centro de masas del cilindro no puede descender.
porque el peso no pude crear momento torsor para hacerlo desenrollar porque eso implica que el CM se mueva descendiendo y es contrario a lo expuesto en el enunciado.

He mirado los datos y con ese angulo y coef de roce, no es posible mantener sin traslación el cilindro por eso obtienes aceleracion tangencial mayor a la gravedad y masas negativas, para que el cilindro no caiga, si aumentas el coeficiente de rozamiento por encima de
$\mu>\dfrac{\sqrt 3-1}{2}=0,366$ si es posible obtener aceleraciones tangenciales menores a g y masas positivas.

[JCB]

Hola a tod@s.

Para que el cilindro no tenga traslación, su aceleración tangencial debe ser $a_t=(2\sin\theta-4\mu_d\cos\theta)g$. Substituyendo los valores $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ y $\mu_d=0,25$, resulta

$a_t=12,07\ m/s^2$. Lo cual es imposible, pues el bloque de masa $m$ también debería descender con esta aceleración.

Saludos cordiales,
JCB.

[johnbear02]

El enunciado original decía:
"Sobre un plano inclinado en $\pi/3$ se encuentra un cilindro de masa M y radio R, alrededor del cual se ha enrollado una cuerda paralela al plano inclinado que pasa por una polea de masa despreciable y se une con un cuerpo de masa m. La tensión de la cuerda y la fuerza de rozamiento cinético ejercida por el plano sobre el cilindro son suficientes para que éste permanezca en su sitio a medida que gira, mientras la cuerda se desenrolla y el cuerpo de masa m desciende con aceleración desconocida. Calcule la relación entre M/m"