2o ciclo Gravitacion

[Sir Isaac]

Buenas a todos y todas, necesitaria alguna orientacion sobre como abordar problemas de este tipo:

Un satelite artificial de 1000 Kg de masa esta en orbita cirular al rededor de la tierra a una altura de la superficie terrrestre de 500 Km. Deseamos colocarlo en otra orbita donde tenga un periodo de revolucion de 3 horas. Calcule:
a) La altura h₂ sobre la superficie terrestre de la nueva orbita
b) La velocidad del satelite en dicha orbita
c) La energia necesaria para realizar la transferencia de una a otra orbita

Muchas gracias de antemano

[The Higgs Particle]

Re: Gravitacion

¿Qué has intentado? ¿En qué te trabas?

Todas las fórmulas de este tipo de problemas se sacan desarrollando en mayor o en menor medida estas fórmulas:

$F_c = F_g$
$E_p = \dst -G \frac{Mm}{r}$
$E_c = \frac{1}{2}mv^2$

[Sir Isaac]

Re: Gravitacion

En que no se como sacar la altura, si con el Periodo T o con que

[The Higgs Particle]

Re: Gravitacion

Suponiendo una órbita circular, tenemos:

$\vec{F_c} = \vec{F_g} \to F_c = F_g \to \dst m \frac{v^2}{r} = G \dst \frac{Mm}{r^2} \to \dst \frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2}$

Y, además:

$v = \omega r = \dst \frac{2 \pi}{T} r \to v^2 = \dst \frac{4 \pi^2}{T^2} r^2$

Por ello:

$\dst \frac{4 \pi^2}{T^2} r = \frac{GM}{r^2} \to r = R_{Tierra} + h = \sqrt[3]{\frac{GM T^2}{4 \pi^2}}$

Entonces:

$\boxed{h = \dst \sqrt[3]{\frac{GM T^2}{4 \pi^2}} - R_{Tierra}}$

[Sir Isaac]

Re: Gravitacion

Vale, pues desde ahi creo seguir.
El apartado c) seria que W=-Epot

[The Higgs Particle]

Re: Gravitacion

El apartado c) seria que W=-Epot

Casi. En este caso, el trabajo total realizado se invertiría en aumentar su energía potencial (llevarlo más lejos) y también en hacer que aumentase su velocidad (por ende, su energía cinética). La expresión que tú has puesto implicaría que el trabajo que hacen los cohetes, o con lo que sea con lo que lo propulsamos, sólo sirve para una de estas dos cosas. Por ello, te recomiendo que lo hagas por energías, como ahora te muestro:

Por conservación de la energía $E_m (0) = E_m (f)$; es decir, la energía mecánica (cinética + potencial) inicial debe ser igual a la inicial. Pero para cambiarlo a una órbita con mayor energía, es preciso suministrarle una energía extra, aparte de la que ya tiene en dicha órbita inicial. Es decir:

$E_{orbital}(0) + E = E_{orbital}(f)$

donde $E$ representa la energía que hemos de suministrarle

Podríamos hacer que $E_{orbital} (0) = E_p(0) + E_c(0)$ y así sucesivamente, pero sabiendo que, en general, para un cuerpo orbitando a otro, $E_{orbital} = \frac{1}{2}E_p$, me lo ahorro

Así:

$E = E_{orbital}(f) - E_{orbital}(0) =\dst \frac{1}{2}E_p(f) - \frac{1}{2}E_p(0) = -\frac{1}{2}GMm \dst \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_0} \right)$