ecuación trabajo-energía

[Publio]

Hola. A la hora de hallar la velocidad en el punto B del gráfico en el problema adjunto me surge una duda en la solución.

"El collarín de masa m se suelta desde el reposo en la posición A y viaja sin rozamiento a lo largo de la guía circular en el plano vertical. Determina la fuerza normal ejercida por la guía en el collarín a) justo antes de pasar por B, b) justo después de pasar por B... Usa los valores m = 0.4 kg, R = 1.2 m, k = 200 N/m. La longitud en reposo del resorte es 0.8R."





Se plantea la ecuación del trabajo-energía de la siguiente forma para despejar v en B:

$\dst w\frac{R}{2}=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}kx^2$ donde $\dst w$ es el peso del collarín.

Lo que no entiendo es por qué en el trabajo debido al resorte no se tiene en cuenta que la dirección de esa fuerza no va en el sentido del movimiento. Según yo lo veo, sería la componente en y la que habría que considerar y además variaría con el tiempo. ¿Alguien me podría echar una mano?

[JCB]

Hola a tod@s.

Publio: la imagen no es visible. Consulta https://forum.lawebdefisica.com/foru...n-vb5-del-foro.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Recuerda Publio que por normativa del foro , cualquier enunciado debe ser incorporado tipeandolo en forma de texto y no como una imagen.

[Publio]

Perdón, muchas gracias. Ya lo he rectificado. Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Tal y como está planteada la ecuación, entiendo que es un balance de conservación de la energía mecánica. En el punto A, el sistema collarín-muelle, tiene energía potencial gravitatoria y energía potencial elástica, pero no energía cinética (el collarín está en reposo). Si fijamos (arbitrariamente) como referencia de energía potencial gravitatoria a la horizontal DB, entonces en el punto B, la energía potencial gravitatoria es 0, y el sistema tiene energía potencial elástica y energía cinética.

$mg\dfrac{R}{2}+\dfrac{1}{2}k(\Delta d_A)^2=\dfrac{1}{2}k(\Delta d_B)^2+\dfrac{1}{2}mv_B^2$.

Por otra parte, justo antes de pasar por B, la normal es $N=k\Delta d_B$, por estar el collarín (todavía), en un tramo recto. El sentido de esta normal, es hacia la derecha.

Justo después de pasar por B, la normal es $N=k\Delta d_B-\dfrac{mv_B^2}{R}$, por iniciar el collarín, un tramo curvo. El sentido de la normal, dependerá de la velocidad $v_B$.

Este es el planteo. Aplicando Trigonometría hallas $\Delta d_A$ ($\Delta d_B$ es inmediata) y posteriormente $v_B$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Publio]

Muchas gracias JCB.

Creo que no entendía correctamente el concepto de 'trabajo total realizado sobre el sistema' en la ecuación $U_{1-2}=T_2-T_1$, ya que pensaba que era todo el trabajo realizado pero únicamente en la dirección del movimiento del collarín (que correspondería al peso del mismo y a la componente en esa dirección de la tensión del resorte) porque consideraba como 'sistema' solamente al collarín. Ahora veo que hay que considerar a los dos trabajos pero en la dirección de sus movimientos respectivos porque el sistema es collarín+resorte. Creo que ya está claro.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Respondiendo a tu pregunta concreta del enunciado, la componente vertical de la fuerza elástica es la que realiza trabajo en el desplazamiento de A a B. Con un poco de Trigonometría (bendita sea), llegas a que esta componente vertical (en función de la ordenada $y$ de posición del collarín) es $F_{ey}=k\left(1-\dfrac{0,8R}{\sqrt{y^2+R^2}}\right)y$. El trabajo correspondiente es $W_{ey}=\dst\int_{R/2}^{0}k\left(1-\dfrac{0,8R}{\sqrt{y^2+R^2}}\right)ydy=8,8050\ J$ (en valor absoluto).

Por otra parte, el trabajo del peso es $W_g=mg\dfrac{R}{2}=2,3520\ J$ (en valor absoluto).

La suma del trabajo de la componente vertical de la fuerza elástica más el trabajo del peso es $W=11,1570\ J$.

La variación de energía cinética del collarín es $\Delta E_c=\dfrac{1}{2}mv_B^2=11,1570\ J$.

Y, efectivamente, se cumple el teorema de las fuerzas vivas (“el trabajo total de las fuerzas que se ejercen sobre un punto material, es igual al incremento de su energía cinética”).

Saludos cordiales,
JCB.

[Publio]

Gracias JCB. Efectivamente, la ecuación diferencial que tú integras es la que yo había buscado sin éxito. Y tienes toda la razón con lo de la Trigonometría; ese sí que fue un gran paso para la Humanidad.