1r ciclo Sistema de Particulas: Cuña en movimiento

[bruno_uy]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:
Un patinador de masa m se encuentra en la parte superior (punto A) de una cu[FONT=arial]ña de masa M (inicialmente en reposo), con forma de triangulo isosceles de base D. El patinador se desliza sin friccion por la rampa partiendo del reposo, y la cu[/FONT][FONT=arial]ña desliza sobre el piso sin rozamiento. El punto B inicialmente se halla a una distancia d de la parte inferior izquierda de la cu[/FONT][FONT=arial]ña. A que distancia d' se hallara la parte inferior izquierda de la cu[/FONT][FONT=arial]ña cuando el patinador llegue al punto B?[/FONT]



El ejercicio ya lo tengo medio resuelto, pero tengo una duda.
A modo general el planteo que hago es el siguiente:

$\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{g} + M\vec{g} + \vec{N}$ siendo $\vec{N}$ La normal que el piso le ejerce a la cuña (la otra normal es interna, de tiene su acción y reacción dentro del sistema)

Entonces: $\sum \vec{F}_{ext_x} = 0$ $\Rightarrow \vec{P}_x$ se conserva y $a_{{cm}_x} = 0$ por lo que la posición del centro de masas en eje $x$ se conserva. Es correcto?? Centro de masas sólo se mueve en eje $y$?

Usando esto: voy a calcular las velocidades de las masas.
Y con la velocidad del patinador y la distancia hasta el punto B calculo el $\Delta t$ y luego con ese tiempo y la velocidad de la cuña calculo su desplazamiento que es lo que me piden (a eso le sumo d+D).

Si lo anterior es correcto, mi duda es:
Teniendo la velocidad del patinador que es una velocidad en eje $x$, para calcular el $\Delta t$ uso el desplazamiento que es d+D o uso la distancia recorrida que d+lado del triangulo isosceles..
Me explico? me entra la duda si debo considerar la distancia recorrida o solo el desplazamiento..
Me la jugaría por considerar sólo el desplazamiento pero por qué?

Saludos.

Agrego: También debo usar que la energia del sistema se conseva entonces la energia potencial gravitatoria del patinador se convierte en energia cinetica de patinador y energia cinetica de la cuña. Ahora me entra la duda de que al no tener la altura del patinador no me faltan datos?

(Gracias Richard R Richard por la acotacion de no subir imagenes del enunciado del problema)

[Richard R Richard]

Re: Sistema de Particulas: Cuña en movimiento

bruno es contra las normas del foro, no tipear el enunciado, recorta y coloca la imagen de la figura solo si es relevante, sino el hilo va a parar a la basura

luego hablamos sobre la solución

[arivasm]

Re: Sistema de Particulas: Cuña en movimiento

Lo más sencillo es recurrir al centro de masa del sistema cuña-patinador. Como las fuerzas externas que actúan sobre ese sistema son verticales la posición horizontal del centro de masa no cambiará. Inicialmente está a una distancia $d+D/2$. Por otra parte, al final la distancia entre centros de patinador y cuña es $D/2$. Por tanto, si la cuña finalmente se ha movido una distancia $x$ hacia la derecha, su centro estará en $d+D/2+x$ y el patinador estará en $d+x$. Conclusión: $(m+M)(d+D/2)=m(d+x)+M(d+D/2+x)$. Si no me equivoco el resultado será $\dst d'=d+\frac{m}{M}\frac{D}{2}$

[Richard R Richard]

Re: Sistema de Particulas: Cuña en movimiento

gracias por editar el enunciado

arivasm Coincido contigo que sale por conservación de la posición del centro de masa, pero has tomado como origen del sistema de referencia el punto B entonces luego de su recorrido la masa del patinador m tiene coordenada de posición igual a 0

$(m+M)(d+D/2)=M(d'+D/2)$

entiendo que sería la ecuación correcta de allí

$d'=\frac D2+\dfrac{(m+M)(d+\frac D2)}{M}$

Saludos

[arivasm]

Re: Sistema de Particulas: Cuña en movimiento

Sí. Tienes razón. No leí completamente el enunciado. Mi resultado es incompleto: sólo da respuesta de las posiciones de patinador y cuña cuando el primero llega al suelo. Falta añadir el desplazamiento con velocidad constante que se produce después. El cálculo es incluso más simple que lo que puse: $(m+M)(d+D/2)=M(d+D/2+x)=M(d'+D/2)$ con lo que coincido plenamente contigo.

[bruno_uy]

Re: Sistema de Particulas: Cuña en movimiento

Muchas gracias, excelente.

Ahora, a los efectos de entender más en profundidad este problema, quiero hallar las velocidades de la cuña y el patinador en el momento final. Supongamos que la cuña tiene una altura h y el angulo que forma con la horizontal es $\theta$
Entonces considerando que se conserva el momentum en el eje $x$ y se conserva la energía total del sistema obtengo las siguientes ecuaciones:

$mv_{1_x} + Mv_{1_x} = 0$

$mgh = \displaystyle\frac{1}{2}(v_{1_x} + v_{1_y})^2 +\displaystyle\frac{1}{2}v_{2_x}^2$

Acá tengo dos ecuaciones y tres incognitas: $v_{2_x} \space v_{1_x} \space v_{1_y}$
Según pude ver en un ejercicio similar, la tercera ecuación sale de analizar el movimiento relativo entre el patinador y la cuña.
Observo que: $v_1 = v\prime_1 + v_2$ donde $v\prime_1$ el la velocidad del patinador respecto a la cuña.

Hasta aqui entiendo. Ahora se puede analizar que: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] esto último si bien es una sencilla regla trigonometrica me marea un poco.. o sea tengo que asumir que la direccion de $v_1$ es paralela a la superficie de la cuña, esto es obvio?
es que $v_1$ luego cambia su dirección cuando el patinador recorre toda la cuña y es paralela al piso pues la cuña ya fue abandonada..

Aclarando esto creo haber entendido el problema, agradezco cualquier comentario.

[Richard R Richard]

Re: Sistema de Particulas: Cuña en movimiento

hola hay unos pequeños errores pero no de concepto, si no de cosas que has olvidado de poner en las formulas



en la de la conservación de la cantidad de movimiento interpreto a partir de tu notación que debería ser

$mv_{1_x} + Mv_{2_x} = 0$


y que la de formula de la conservación de la energía debería ser

$mgh = \dfrac{1}{2} m (v_{1_x}^2 + v_{1_y}^2) +\dfrac{1}{2}Mv_{2_x}^2$

te habías olvidado de poner las masas y expresado mal el modulo le la velocidad del patinador cuando desciende $v^2=|v|^2=v_{1_x}^2 + v_{1_y}^2$

esa velocidad se desarrolla en una pendiente el ángulo $\theta$ con respecto a la horizontal surge la velocidad $v_{1_x} =- v \cos \theta$ y $v_{1_y} =- v \sin \theta$ si no me mareado también.

aunque $\theta$ no es el ángulo del plano inclinado. lo sería si el plano inclinado estuviera fijo.

el angulo $\theta$ sale cuando haces el mismo problema anterior pero averiguas a que distancia $d''$ de la posición B el patinador toca el piso

luego $\tan \theta=\dfrac{d''-d}{h}$

Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: Sistema de Particulas: Cuña en movimiento

gracias por editar el enunciado

arivasm Coincido contigo que sale por conservación de la posición del centro de masa, pero has tomado como origen del sistema de referencia el punto B entonces luego de su recorrido la masa del patinador m tiene coordenada de posición igual a 0

$(m+M)(d+D/2)=M(d'+D/2)$

entiendo que sería la ecuación correcta de allí

$d'=\frac D2+\dfrac{(m+M)(d+\frac D2)}{M}$

Saludos

Creo que tienes un peque$\~n$o error de signo, si no me equivoco deveria ser $d' =-\dst \frac{D}{2} +...$

Saludos

[felmon38]

Re: Sistema de Particulas: Cuña en movimiento

Bruno, teniendo en cuenta los comentarios de ℝ³, siendo v_r la velocidad relativa de 1 respecto de la cuña y x la distancia recorrida sobre ella, las ecuaciones serían (eje x horizontal hacia la derecha, eje y vertical hacia abajo):

m.v1_x+M.v2=0. (1)

v1=v_r+v2(ecuación vectorial, no escalar como pones tú) ⇒
v1_x=-v_r.cosθ+v₂ (2)
v1_y=v_r.senθ. (3)
mgx.senθ=M.v2²/2+m(v1_x²+v1_y²)/2 (4)

De las ecuaciones (1),(2) y (3), se saca v1_x, v1_y y v2 en función de v_r, y sustituyendo estos valores en (4), se saca una relación de la forma:

v_r²=a.x

que integrándola se obtiene la ecuación horaria del movimiento del esquiador respecto de la cuña, que creo que es lo que querías investigar. a es una constante que no pongo el valor que me sale porque me equivoco mucho operando.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Sistema de Particulas: Cuña en movimiento

Creo que tienes un peque$\~n$o error de signo, si no me equivoco deveria ser $d' =-\dst \frac{D}{2} +...$

Saludos

Si tienes razón no hice bien el despeje mentalmente

$d'=-\frac D2+\dfrac{(m+M)(d+\frac D2)}{M}$