1r ciclo Problema de choque de bala en el borde de un disco

[lokeno100]

Un disco uniforme de masa m y radio R, se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento, de manera que una cara del disco está en contacto con la superficie. Una bala de masa m y velocidad horizontal v choca con el disco y queda incrustada en el borde. Calcular: a) la velocidad del centro de masas, b) la velocidad angular del sistema después del choque, y ) la energía cinética del sistema antes y después del choque.

En el a) me sale v/2 y en el b) (v)/(2R). c) 5mv^2/12

saludos.

[lokeno100]

Pero el c me sale que da la energía después 7mv^2/12 y me sale más que la inicial y esto no me cuadra.

[Richard R Richard]

Hola lokeno100, hace unas horas que lei tu enunciado... pero recién con tu segundo mensaje entero de tus dudas... no te limites a copiar el enunciado.. escribe que es lo que no entiendes de él o que es lo que no puedes calcular.


a) es lógico dos masas iguales se chocan una con velocidad $v$ , si quedan unidas tras la colisión, la conservación del momento lineal dice que la velocidad resultante de ambas es $v/2$

$P_i=mv=(m+m)v_f=P_f$

$v_f=v_i\dfrac{m}{2m}=\dfrac{v_i}{2}$


b y c) aqui supongo que has hecho lo siguiente equivocadamente

el momento angular se conserva, al inicio es el momento lineal por la distancia radial y luego del choque es igual al momento de inercia por la velocidad angular


$L_i=mv_i R=I\omega=(\frac 12 mR^2+mR^2)\omega=L_f$

$\omega=\dfrac{mv_iR}{\frac 32m R^2}=\dfrac{2}{3}\dfrac{v_i}{R}$


supones que al ser un choque inelástico la energía cinetica no se conserva


calculas la energía cinetica inicial

$Ec_i=\frac 12mv_i^2$

y la energía cinética final supones que es la suma de la energía cinética de traslación más la energía cinetica de rotación.

$Ec_f=\dfrac12 (m+m)V_{CM}^2+\frac 12 I\omega^2$

$Ec_f=m\left(\dfrac{v_i}{2}\right)^2+\frac 12 (\frac 12 mR^2+mR^2)\left(\dfrac{2}{3}\dfrac{v_i}{R}\right)^2$

$Ec_f=\dfrac{mv_i^2}{4}+\frac 34 mR^2\dfrac{4v_i^2}{9R^2}$

$Ec_f=\dfrac{mv_i^2}{4}+ m\dfrac{v_i^2}{3}=\dfrac{7}{12}mv_i^2$ ERROOOR!!!!!!

y llegas a tu absurdo... mmm claro.... donde esta el error te preguntaras...


bueno el error ya esta en b) donde? en el calculo del momento de inercia. y en el calculo del momento angular inicial

Fijate que ese momento de inercia es el momento de inercia para el disco y la bala rotando sobre un eje que pasa por el centro del disco, pero eso no es cierto, el sistema va a rotar sobre su centro de masas CM...

entonces que hay que hacer , primero averiguar la posición del centro de masas del sistema disco y bala,
calcular el momento angular inicial para el sistema rotando sobre el centro de masas.
luego aplicar el teorema de Steiner para mover el momento de inercia del centro del disco hasta el CM.(o calcularlo directamente)
luego aplicar los mismos cálculos para hallar $\omega$ con el nuevo momento de inercia y el nuevo momento angular
y luego calcular la energía cinetica final y volver a comparar con la inicial.


veamos



La posición del CM de sistema bala mas disco si tomamos referencia en el centro del disco ,se obtiene como el promedio ponderado de los centros de masa individuales


$x_{CM}=\dfrac{mx_D+mx_B}{m+m}$

como el Cm del disco esta en el origen $x_D=0$ y la bala esta a una distancia $x_B=R$ quedando

$x_{CM}=\dfrac R2$

calculamos el momento angular inicial

$L_i=mv_iR_{CM}=mv_i(R-x_{CM})=mv_i\dfrac{R}{2}=I_{CM}\omega=L_f$

esa sera la distancia que hay que correr el eje de giro del momento de inercia ya calculado en b) por el teorema de Steiner

$I=I_{CM}+Md^2$

reordenando

$I_{CM}= I-Md^2=(\frac 12 mR^2+mR^2 )-(2m)\left(\dfrac R2\right)^2$

$I_{CM}=(\frac 32 mR^2)-\frac 12mR^2=mR^2$

Existen otras formas de calcular el momento de inercia, elige la que prefieras.

entonces recalculando el punto b)


$\omega=\dfrac{mv_i\dfrac{R}{2}}{m R^2}=\dfrac{v_i}{2R}$

y ahora el c)


$Ec_f=\dfrac{mv_i^2}{4}+\frac 12 mR^2\dfrac{v_i^2}{4R^2}$

$Ec_f=\dfrac38mv_i^2$

luego $Ec_f<Ec_i$ cqd

[lokeno100]

Muchas gracias Richard, primero lo hizo como has hecho al principio y me equivoqué, muchas gracias por todo.

saludos.