1r ciclo Duda leyes de Kepler

[CARLIN]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

¿En qué relación están los periodos orbitales de Mercurio y Neptuno, si los radios medios de las órbitas de estos planetas en torno al Sol, valen 5.79×10^10 m y 4.50×10^12 m, respectivamente?

Tengo que recurrir a la tercera ley de Kepler, ${T}^{2}= \frac{4{\pi}^{2}}{GM}{r}^{3}$ Realmente es fácil, pero no sé por dónde empezarlo, disculpen, ando preparando la PAU y voy justo de tiempo, por lo que más allá de practicar, no me detengo mucho en las cuestiones teóricas.

Gracias

[arivasm]

Re: Duda leyes de Kepler

Como en este caso M es la masa del Sol, si divides miembro a miembro la expresión que has puesto para la 3ª ley aplicada a cada uno de los planetas tienes que $\dst\left(\frac{T_N}{T_M}\right)^2=\left(\frac{r_N}{r_M}\right)^3$, luego $\dst\frac{T_N}{T_M}=\left(\frac{r_N}{r_M}\right)^{3/2}$

[angel relativamente]

Re: Duda leyes de Kepler

Hola.
Pues basta que dividas la expresión que has puesto aplicada a un planeta y a otro. Te queda que $\dfrac{T_M^2}{T_N^2} = \dfrac{r_M^3}{r_N^3}$. Te están pidiendo la relación que no es otra cosa que $\dfrac{T_M}{T_N}$.
Saludos,
Se me adelanto arivasm

[Alriga]

Re: Duda leyes de Kepler

El problema queda completamente resuelto con las explicaciones de arivasm y angel, mi aporte es sólo histórico.

La 3ª Ley de Kepler tal como la expuso Kepler que la dedujo de forma empírica, es que para los planetas del Sistema Solar se cumplía:

$\dfrac{T_1^2}{r_1^3}= \dfrac{T_2^2}{r_2^3} = cte$

Más tarde, fue Newton el que aplicando la "Ley de Gravitación Universal" y las leyes de la dinámica descubiertas por él mismo pudo deducir el valor de la constante,

$\dfrac{T^2}{r^3}= \dfrac{4 \pi^2}{GM}$ en donde M es la masa del Sol.

Pero resulta que si se quiere afinar más, el valor no es realmente constante, sino que varía ligeramente para cada planeta, siendo la expresión más precisa para un planeta concreto de masa m

$\dfrac{T^2}{r^3}= \dfrac{4 \pi^2}{G(M+m)}$

Y por lo tanto, para relacionar con más precisión 2 planetas cualquiera:

$\dfrac{T_1^2}{r_1^3} \ (M+m_1)= \dfrac{T_2^2}{r_2^3} \ (M+m_2)=\dfrac{4 \pi^2}{G}$

Lo que sucede es que como la masa de cada planeta es muy pequeña comparada con la del Sol, se suele poder aproximar $M+m \simeq M$

Saludos.