1r ciclo Error en ejercicio de mecanismo articulado

[imr]

Hola amigos, a ver si alguien me puede ayudar a dar con mi error en este ejercicio de mecanismos articulados. El enunciado es:

En el mecanismo de la figura:
1) Calcular la fuerza F necesaria para que el mecanismo esté en equilibrio.
2) Calcular las fuerzas a las que están sometidas todas las articulaciones.

Nota: El mecanismo consta de cuatro barras y se articulan como en la figura, unidas por sus centros dos a dos. La carga de los nudos E y F es variable con el ángulo alfa. La longitud de las barras (L), el parámetro (D) y la distancia vertical (d) son constantes. La fuerza F está aplicada en el punto G y con un ángulo beta.



Explicación de lo que he hecho yo:

Primero he calculado la tengente de beta en función de la geometría para poder usar beta fácilmente si era necesario. Luego he calculado la fuerza F necesaria para que el mecanismo esté en equilibrio estático utilizando el teorema de desplazamientos virtuales.

$\frac{(2L-l)sen\alpha -d}{(L-l)cos\alpha}=tg\beta$

$y_E=2Lsen\alpha ; \delta y_E=2Lcos\alpha \delta \alpha$
$y_F=2Lsen\alpha ; \delta y_F=2Lcos\alpha \delta \alpha$
$y_G=(2L-l)sen\alpha ;\delta y_G=(2L-l)cos\alpha$
$x_G=-(L-l)cos\alpha ; \delta x_G=(L-l)sen\alpha \delta \alpha$

$-P\left ( \frac{D}{Lcos\alpha } \right )\cdot 2Lcos\alpha \delta \alpha -P\left ( 1-\frac{D}{Lcos\alpha } \right )\cdot 2Lcos\alpha \delta \alpha +$
$+Fsen\beta (2L-l)cos\alpha \delta \alpha -Fcos\beta (L-l)sen\alpha \delta \alpha =0;$
$-2PD-2PLcos\alpha +\frac{PD}{Lcos\alpha }\cdot 2Lcos\alpha +Fsen\beta (2L-l)cos\alpha -Fcos\beta (L-l)sen\alpha =0;$
$F=\frac{2PLcos\alpha }{sen\beta (2L-l)cos\alpha -(L-l)cos\beta sen\alpha }$

Luego he calculado las reacciones Ra, Rb y Hb haciendo sumatorio de fuerzas igual a cero y sumatorio de momentos en B igual a cero.

$\sum F_x=-Fcos\beta +H_B=0; H_B=Fcos\beta$
$\sum M_B=P\left ( \frac{D}{Lcos\alpha } \right )\cdot Lcos\alpha -R_A\cdot Lcos\alpha -Fsen\beta (L-l)cos\alpha +Fcos\beta (2L-l)sen\alpha =0;$
$PD-R_ALcos\alpha +F\left ( sen\alpha cos\beta (2L-l)-cos\alpha sen\beta (L-l) \right )=0;$
$R_A=\frac{PD}{Lcos\alpha }+F\left ( tg\alpha cos\beta (2-\frac{l}{L})-sen\beta (1-\frac{l}{L}) \right )$

$\sum F_y=-P\frac{D}{Lcos\alpha }-P(1-\frac{D}{Lcos\alpha })+R_A+R_B=0; -P+R_A+R_B=0; R_B=P-R_A$
$R_B=P-\frac{PD}{Lcos\alpha }-F\left ( tg\alpha cos\beta (2-\frac{l}{L})-sen\beta (1-\frac{l}{L}) \right )=$
$=P(1-\frac{D}{Lcos\alpha })-F\left ( tg\alpha cos\beta (2-\frac{l}{L})-sen\beta (1-\frac{l}{L}) \right )$

Después he hecho el diagrama de las barras libres y he obtenido 4 ecuaciones con las que poder obtener las fuerzas en los nudos. Para obtener esas relaciones he hecho sumatorio de momentos sobre cada una de las barras igual a cero sobre los puntos o1 y o2.


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$H_Dtg\alpha =R_A+R_D$


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$-(H_B+H_C)sen\alpha =(R_B+R_C)cos\alpha;$
$-(H_B+H_C)tg\alpha =R_B+R_C$


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$R_C-P(1-\frac{D}{Lcos\alpha })=H_Ctg\alpha$


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$-H_Dsen\alpha -R_Dcos\alpha +\frac{PD}{L}-Fsen(\beta -\alpha )(1-\frac{2l}{L})=0$

Ahora he obtenido Hc, Rc, Hd y Rd resolviendo los sitemas de las ecuaciones del apartado anterior.

$\left.\begin{matrix}<br /> -(H_B+H_C)tg\alpha =R_B+R_C\\ <br /> R_C-P(1-\frac{D}{Lcos\alpha })=H_Ctg\alpha )<br /> \end{matrix}\right\}$
$-H_Btg\alpha -H_Ctg\alpha =R_B+H_Ctg\alpha +P(1-\frac{D}{Lcos\alpha });$
$2H_Ctg\alpha =-H_Btg\alpha -R_B-P(1-\frac{D}{Lcos\alpha });$
$H_C=-\frac{H_B}{2}-\frac{R_B}{2tg\alpha }-\frac{P}{2tg\alpha }(1-\frac{D}{Lcos\alpha });$
$R_C=-\frac{H_Btg\alpha }{2}-\frac{R_B}{2}-\frac{P}{2}(1-\frac{D}{Lcos\alpha })+P(1-\frac{D}{Lcos\alpha })=$
$=-\frac{H_Btg\alpha }{2}-\frac{R_B}{2}+\frac{P}{2}(1-\frac{D}{Lcos\alpha })$

$\left.\begin{matrix}<br /> H_Dtg\alpha =R_A+R_D\\ <br /> -H_Dsen\alpha -R_Dcos\alpha +\frac{PD}{L}-Fsen(\beta -\alpha )(1-\frac{2l}{L})=0<br /> \end{matrix}\right\}$
$H_D=\frac{R_A+R_D}{tg\alpha };$
$-(\frac{R_A+R_D}{tg\alpha })sen\alpha -R_Dcos\alpha \frac{PD}{L}-Fsen(\beta -\alpha )(1-\frac{2l}{L})=0;$
$-R_Acos\alpha -R_Dcos\alpha -R_Dcos\alpha +\frac{PD}{L}-Fsen(\beta -\alpha )(1-\frac{2l}{L})=0;$
$2R_Dcos\alpha =\frac{PD}{L}-R_Acos\alpha -Fsen(\beta -\alpha )(1-\frac{2l}{L});$
$R_D=\frac{PD}{2Lcos\alpha }-\frac{R_A}{2}-F\frac{sen(\beta -\alpha )}{cos\alpha }(\frac{1}{2}-\frac{l}{L});$
$H_D=\frac{R_A}{tg\alpha }+\frac{PD}{2Lsen\alpha }-\frac{R_A}{2tg\alpha }-F\frac{sen(\beta -\alpha )}{sen\alpha }(\frac{1}{2}-\frac{l}{L})=$
$=\frac{R_A}{2tg\alpha }+\frac{P}{2}\frac{D}{Lsen\alpha }-F\frac{sen(\beta -\alpha )}{sen\alpha }(\frac{1}{2}-\frac{l}{L})$

Por último he intentado calcular las fuerzas en los nudos o1 y o2 aplicando sumatorio de fuerzas en cada una de las barras las barras igual a cero.


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$F_01x=H_B-H_C=\frac{3H_B}{2}+\frac{R_B}{2tg\alpha}+\frac{P}{2tg\alpha}(1-\frac{D}{Lcos\alpha})$

Resolviendo las ecuaciones de la Barra AD y la barra BC he obtenido dos valores distintos para las fuerzas en el nudo o1. Por ejemplo he dado valores para todos los parámetros y he obtenido una Fo1x distinta cuando debería ser la misma, ya que ese nudo es compartido.

¿Cuál es mi fallo?

Gracias por anticipado.

[felmon38]

Re: Error en ejercicio de mecanismo articulado

Cuando aislas una barra, tienes que tener en cuenta la acción de la barra articulada en O contigua, tal como has hecho con las dos últimas barras.
Saludos

[imr]

Re: Error en ejercicio de mecanismo articulado

En las dos últimas lo he puesto porque igualaba el sumatorio de fuerza en las barras a cero.

En las primeras ya no lo he escrito porque como tomo el sumatorio de momentos sobre ese punto (o1 y o2) no me debería afectar. Quizás falten en el dibujo, pero matemáticamente el resultado debería ser el mismo.

[felmon38]

Re: Error en ejercicio de mecanismo articulado

Entonces creo que las ecuaciones están bien planteadas aunque no soy capaz de revisarlas . Únicamente un detalle que no afecta al resultado contradictorio que te da y es que creo que el ángulo β varía con el desplazamiento virtual, porque me imagino que la fuerza F proviene de un cilindro hidráulico unido a la articulación situada a distancia d de B.
Saludos

[imr]

Re: Error en ejercicio de mecanismo articulado

Hola, beta sí que varía con alfa, es la primera ecuación que he escrito, aunque la he dejado en función de la tangente. Cuando he asignado valores para comprobar que los resultados eran contradictorios ya lo he tenido en cuenta.

A ver entonces si alguien es capaz de encontrar el fallo. Yo creo que hasta la parte del cálculo de las reacciones está bien. Seguramente está de ahí en adelante.