Problema sobre cargas realizando un M.A.S

[alfred_12]

Muy buenas! Soy nuevo en este Foro. Soy estudiante de matemáticas y tenemos la asignatura de Física Mecánica, viendo muchos de los ejercicios propuestos para practicar sobre oscilación y M.A.S, con este me he quedado en blanco... viendo exámenes anteriores no creo que pongan uno a este nivel, pero no había realizado ningún ejercicio con cargas realizando un M.A.S.

El ejercicio es el siguiente:
Consideremos una partícula de masa m situada en el eje X. Esta partícula experimentara un movimiento armónico simple en el eje $X$, alrededor de su posición de equilibrio $x_{0}$, esta está sometida a una fuerza elástica en el sentido negativo del eje $X$ $F(t)=-K(x(t)-x_{0})$. La frecuencia angular es $w= \sqrt{K/m}$, siendo $K$ la constante elástica positiva. El movimiento es $x(t)=x_{0}+Acos(wt + \phi)$
Supongamos que tenemos dos cargas del mismo valor situadas en posiciones fijas sobre el eje X y separadas una distancia constante $L$. Ahora cogemos otra carga $q$ de masa $m$, y queremos que, al colocar esta carga libremente, describa de forma espontánea un MAS con amplitud $A$ y fase inicial 0.

1) Determinar en qué punto del espacio y con qué velocidad inicial debemos introducir la carga prueba para conseguir nuestro objetivo.
2) Discutir las condiciones que se deben cumplir para que la carga realice un MAS.
3) Obtener el periodo de la oscilación que experimenta la carga si se cumplen esas condiciones.

Muchas gracias de antemano por cualquier ayuda que pueda recibir.

Un saludo!

[Al2000]

Analiza (en tu mente o con un esquema en una hoja de papel) los posibles casos y concluye que sólo hay una posición donde puede haber equilibrio, que es en el punto medio de la línea que une las cargas fijas. Nota que solamente hay tres posibles escenarios:

1 - Las dos cargas fijas son del mismo signo y la carga móvil de signo diferente a las dos fijas.
2 - Las tres cargas son del mismo signo.
3 - Las dos cargas fijas son de signos diferentes.

Sólo en los casos 1 y 2 puede haber un equilibrio; en el caso 3 no habrá punto de equilibrio (podría haberlo si las cargas fijas fuesen de diferentes magnitudes).

El equilibrio que se presenta en los casos 1 y 2 es lo que se llama un equilibrio de silla de montar. Es un equilibrio que es estable en una dirección e inestable en la dirección perpendicular. Si las tres cargas son del mismo signo, el equilibrio es estable en el eje X e inestable en dirección perpendicular al eje.

Ahora que ya sabes donde puede haber equilibrio, es hora de hacer cálculos. Si tu carga móvil está en un punto $x$ y el punto de equilibrio está en $x_0$ (este sería el punto medio del segmento que une las cargas fijas), la fuerza (a lo largo de X) sobre la carga móvil $q'$ será

$$F = \frac {q q'} {4 \pi \epsilon_0} \left [ \frac 1 {(x - x_0 + \frac L 2)^2} - \frac 1 {(x - x_0 - \frac L 2)^2}\right ]$$

Esta fuerza no es una fuerza proporcional a la distancia, pero se aproxima cuando la amplitud de la oscilación es pequeña. Desarrolla la fuerza como una serie de potencias de $x - x_0$ y quédate con el primer término. Deberías obtener una fuerza como la que dice el enunciado.

Inténtalo y si te aparecen dudas, pregunta de nuevo.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Hola alfred_12, bienvenido a La web de Física, en primer lugar como miembro reciente, lee con atención Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva.

Además de las excelentes explicaciones del compañero Al2000, también puede interesarte repasar el hilo similar "Ejercicio cargas puntuales"

Saludos y de nuevo, bienvenido.