Otras carreras Láminas apiladas (sistema de partículas, momento de inercia)

[cristianoceli]

Hola tengo dificultades en resolver este ejercicio

Se tiene muchas láminas iguales, de masa M, largo L. Se apilan de manera que cada lámina queda L/4 fuera de la anterior, luego la lámina siguiente queda L/4 de la segunda y L/2 de la primera y así sucesivamente. ¿hasta cuántas láminas se alcanzará a apilar sin que se caiga la pila?



Lo he intentado, he visto la teoría pero no me resulta no subo nada de lo que he hecho pues no es nada comestible. Según la guía la respuesta es 4

Saludos y de antemano gracias

[angel relativamente]

Re: Láminas apiladas (sistema de partículas, momento de inercia)

Hola Cristian. Pon el origen en la parte izquierda de la lámina 1. Así, cuando solo tienes una lámina su centro de masas está en $x=L/2$ (despreciaremos su coordenada y). Observa que como todas las láminas tienen la misma masa, al añadir una lámina lo que haces es desplazar el centro de masa hacia la derecha. En efecto, dos láminas tienen por longitud horizontal $L+L/4=5L/4$ por lo que el centro de masas se encontrará en la mitad $x=5L/8$. En general, si yo añado $N$ láminas la longitud será de $L+NL/4$ por lo que el centro de masas se encontrará en $x=\dfrac{L(N+4)}{8}$. El sistema perderá el equilibrio cuando el centro de masas no tenga sustento en el suelo, esto es cuando $x>L$ y observa que eso pasa si y solo si $N>5$. Para $N=4$ habría un equilibrio inestable, en la práctica cualquier perturbación lo tiraría.
Saludos,

[arivasm]

Re: Láminas apiladas (sistema de partículas, momento de inercia)

Se trata de verificar para qué valor del número de láminas la posición horizontal del centro de masa queda fuera de la base de apoyo. En otras palabras: si elegimos el origen de coordenadas en la esquina izquierda de la primera lámina, la pila no caerá mientras $x_{m}<L$. Como la x del centro de masa de la primera lámina está en $L/2$, la de la segunda en $L/2+L/4$, la de la tercera en $L/2+2L/4$... y la enésima en $L/2+(n-1)L/4$, la coordenada x del centro de masas de una pila de N láminas estará en $\dst x_m=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N\left[\frac{L}{2}+(n-1)\frac{L}{4}\right]=\frac{L}{2}+\frac{L}{4N}\sum_{n=1}^N(n-1)$, donde la suma que queda por realizar es muy sencilla, pues se trata de una serie aritmética.

Si no me equivoco, la respuesta es que la pila es estable si $N\leq 5$

PD: Veo que respondí mientras Ángel escribía su mensaje. Saludos, Ángel!

[cristianoceli]

Re: Láminas apiladas (sistema de partículas, momento de inercia)

Muchas gracias a ambos, me quedó claro

Saludos