1r ciclo Colisión con resortes

[bruno_uy]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Un bloque de masa $m$ se mueve con velocidad $v_o$ y choca con otro bloque de masa $M$, fijo a un resorte cuya constante es $k$.
¿Cuál es la compresión máxima $s$ del resorte?



Bueno, comenzando con la parte (a) ya de pique tengo problemas con la interpretación, ya que no sé si entender que cuando m choca el resorte necesariamente se comprime, porque pienso que puede suceder que si m >> M entonces m al chocar arrastraría todo el sistema en vez de comprimir el resorte, o esto nunca sucede acaso?
El hecho de que M se pueda mover me dificulta saber cuando aplicar que la energía cinetica de m se transforma en energía potencial del resorte..

Agradezco cualquier comentario al respecto.

[arivasm]

Re: Colisión con resortes

En el sistema de referencia del centro de masas es un ejercicio muy simple: en la máxima compresión del resorte el sistema posee energía cinética nula, por tanto $\frac{1}{2}ks^2=K_0$ donde $K_0$ es la energía cinética inicial del sistema, medida en el SR del cdm. Para encontrarlo puedes usar que $K_0=K-\frac{1}{2}(m+M)V_m^2$, donde $V_m$ es la velocidad del cdm y $K$ es la energía cinética del sistema medida el SR del laboratorio.

[Richard R Richard]

Re: Colisión con resortes

Bueno, comenzando con la parte (a) ya de pique tengo problemas con la interpretación, ya que no sé si entender que cuando m choca el resorte necesariamente se comprime,

Claro, m hace contacto con el resorte, y la energía potencial que este acumula, se la va transmitiendo a M, llega a un maximo y luego comienza a separar las masas nuevamente.

porque pienso que puede suceder que si m >> M entonces m al chocar arrastraría todo el sistema en vez de comprimir el resorte, o esto nunca sucede acaso?

si m es grande lo que sucede es que la fuerza que provoca el resorte, sobre esta masa es insuficiente para detenerla completamente, por lo que parecerá que arrastra a la masa M, pero no te olvides que a medida que el resorte se comprime $k\Delta x=Ma$la masa M se empieza a acelerar, hasta alcanzar la velocidad de m y luego la supera cuanto el resorte le devuelve la energía potencial.

El hecho de que M se pueda mover me dificulta saber cuando aplicar que la energía cinetica de m se transforma en energía potencial del resorte..

Desde el mismo momento que hace contacto el resorte, comienza a comprimirse, el $\Delta x$ lo calculas como la diferencia ente la posición de la masa m y el centro de masa del conjunto, comparada con la longitud L del resorte sin comprimir.

[felmon38]

Re: Colisión con resortes

bruno, otro método puede ser teniendo en cuenta que las velocidades de cada bloque son iguales cuando la compresión del resorte es máxima. Llamando u a esta velocidad, aplicamos la conservación del momento lineal, ya que no actúan fuerzas exteriores y el teorema de la energía cinética desde el instante inicial hasta que la compresión δ es máxima:

m₁v₁=(m₁+m₂)u

kδ²/2=m₁v₁²/2-(m₁+m₂)u²/2

Por lo que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

si no me he equivocado.

Saludos

[bruno_uy]

Re: Colisión con resortes

Gracias a todos por responder Hice el ejercicio por el camino de felmon38 el cual sale de manera impecable, ahora estoy tratado de hacerlo como proponia arivasm.

Tengo dudas con lo siguiente:

En el sistema de referencia del centro de masas es un ejercicio muy simple: en la máxima compresión del resorte el sistema posee energía cinética nula

A que se debe esto? Si no estuviera el resorte se chocaban en centro de masa pero a ambas masas las separa la distancia $L-s$, no me doy cuenta porque desde el centro de masas se ve que m se detiene..

[arivasm]

Re: Colisión con resortes

En el SR del cdm el momento lineal del sistema es nulo. Eso implica que ambas partículas poseen, en dicho sistema, velocidades con sentidos opuestos.
Como el punto de máxima compresión del resorte se corresponde con un punto de retroceso en el movimiento de una de las partículas (antes de ello la partícula se aproxima a la otra, después se aleja) su velocidad será nula. En consecuencia también lo es la de la otra. Por tanto, ambas partículas tienen energía cinética nula.

Fíjate que todo lo anterior es totalmente independiente de la forma que tenga la fuerza entre las partículas, por supuesto con tal de que sea repulsiva y se ejerza según la línea que definen ambas y que no haya fuerzas externas sobre ellas (para que en todo instante aceleración y velocidad sean colineales, que es lo mismo que afirmar que la aceleración sea estrictamente tangencial).

[bruno_uy]

Re: Colisión con resortes

por tanto $\frac{1}{2}ks^2=K_0$ donde $K_0$ es la energía cinética inicial del sistema, medida en el SR del cdm. Para encontrarlo puedes usar que $K_0=K-\frac{1}{2}(m+M)V_m^2$, donde $V_m$ es la velocidad del cdm y $K$ es la energía cinética del sistema medida el SR del laboratorio.

Aca observo que estás usando una relación que existe entre la energia medida desde un sistema de referencia inercial y la medida desde el SR del cdm, que sería:

$K = K_o + K_{CM}$
Energia cinética medida desde SR inercial = energía cinética medida desde SR del cdm + energía cinética del cdm

Quiero confirmar esto ya que no lo encuentro en el libro de texto (Resnick).

Esto sale de que:
$v = u + V_{CM}$ siendo $v$ la velocidad desde SR inercial, y $u$ la velocidad desde SR del cdm

Como puedo continuar para llegar a eso?

[arivasm]

Re: Colisión con resortes

Hay que manejar las expresiones en forma vectorial: $\vec v_i=\vec u_i+\vec V_{CM}$. De ese modo, $v_i^2=u_i^2+V_{CM}^2+2\vec u_i\cdot\vec V_{CM}$. Al substituir en la energía cinética del sistema en el SR del laboratorio tenemos que $K=\sum \frac{1}{2}m_iv_i^2=\sum \frac{1}{2}m_iu_i^2+\sum \frac{1}{2}m_iV_{CM}^2+\sum m_i \vec u_i\cdot\vec V_{CM}$, es decir $K=K_0+ \frac{1}{2}(\sum m_i)V_{CM}^2+(\sum m_i \vec u_i)\cdot\vec V_{CM}$. Ahora bien, como en el SR del cdm $\vec 0=\sum m_i \vec {r^*_i}$ (con $\vec {r_i^*}$ la posición de la partícula i-sima respecto del cdm) al derivar respecto del tiempo tenemos que $\vec 0=\sum m_i \vec u_i$

[Richard R Richard]

Re: Colisión con resortes

vamos por partes sino interpreto mal estas buscando....


la energía cinética inicial vista desde el laboratorio es $K_o=\dfrac 12 m v_o^2$

la velocidad del centro de masa es $v_{cm}=v_o\dfrac{m}{m+M}$

la velocidad de m respecto del centro de masa $v_{m_{cm}}=v_o-v_{cm}$

la velocidad de M respecto del centro de masa $v_{M_{cm}}=-v_{cm}$

como dice arivasm tiene velocidades de sentido opuestos vistas desde el cdm

La energía cinética inicial del sistema vista desde el cdm , es igual a la energía máxima de compresión cuando las velocidades relativas al cdm de ambas masas es nula

$$\frac 12 m v^2_{m_{cm}}+\frac 12 Mv^2_{M_{cm}}=\frac 12 m (v_o-v_{cm})^2+\frac 12 M(-v_{cm})^2=\frac 12 k s^2$$

si lo analizas desde el laboratorio

$$\frac 12 mv_o^2=\frac 12 (m+M)v^2_{cm}+\frac 12 k s^2$$

reemplazando el valor de la velocidad del centro de masas

$\frac 12 mv_o^2=\frac 12 (m+M)(v_o\dfrac{m}{m+M})^2+\frac 12 k s^2=\frac 12 v_o^2 \dfrac{m^2}{m+M}+\frac 12 k s^2=$

$$\frac 12 m v_o^2(1-\dfrac{m}{m+M}) =\frac 12 \dfrac{mM}{m+M}v_o^2=\frac 12 k s^2$$

que es la expresión que te dio felmon en la que despejas $s$ que debe ser menor que $L$ para que no choquen lo bloques


si lo analizas desde el cdm en la ecuación 1

$\frac 12 m (v_o-v_o\dfrac{m}{m+M})^2+\frac 12 M(-v_o\dfrac{m}{m+M})^2=\frac 12 k s^2$

$\frac 12 m v_o^2\left (\dfrac{M}{m+M}\right )^2+\frac 12 Mv_o^2\left(\dfrac{m}{m+M}\right )^2=\frac 12 mM v_o^2 \dfrac{m+M}{(m+M)^2}=\frac 12 k s^2$

simplificando llegas a la misma expresión 3

es decir llegas por ambos métodos a la misma expresión, creo que eso es lo que preguntas.

[arivasm]

Re: Colisión con resortes

Yo lo desarrollaría de una manera ligeramente diferente, sin necesidad de calcular la velocidad del centro de masa.

Partamos de que

$\dst\frac{1}{2}ks^2=K_0=K-\frac{1}{2}(m+M)V_m^2=K-\frac{P^2}{2(m+M)}$

siendo $P$ el momento lineal del sistema en el SR del laboratorio. Como éste se conserva e inicialmente $M$ está en reposo, es también el momento lineal inicial de $m$, es decir, $P=mv_0$.

Puesto que

$\dst \frac{1}{2}ks^2=\frac{P^2}{2m}-\frac{P^2}{2(m+M)}=\frac{P^2M}{2m(m+M)}=\frac{Mm}{2(m+M)}v_0^2$

la máxima compresión del resorte (entendiendo por ésta su máxima deformación) es

$\dst s=v_0\sqrt{\frac{\mu}{k}}$

siendo $\mu=mM/(m+M)$ la masa reducida del sistema.